Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Сферические функции



VII. Аналитическое представление пространственных полей

 

Понятие ортогональности и нормированности

 

Две функции φ1(x), φ2(x) называются ортогональными на интервале [a, b] при выполнении следующего равенства

. (7.1)

Функция φ(x) называется нормированной, если выполняется следующее равенство

. (7.2)

Можно рассмотреть систему ортогональных функций φm(x), φn(x), для них справедливо условие

при m≠n. (7.3)

Для ортонормированных функций справедливо следующее выражение

 

. (7.4)

 

Сферические функции

 

При описании атмосферных процессов, протекающих на Земле, обычно используют сферические координаты. В этом случае исходные поля метеорологических функций удобно представлять в виде разложения в ряды по сферическим функциям.

, (7.5)

где φm,n – коэффициенты разложения, подлежащие отысканию при решении задачи аппроксимации, сферическая функция порядка m, степени n, λ – долгота, θ – полярный угол. Сферические функции являются ортогональными функциями.

Сферические функции представляют линейно-независимые решения уравнения Гельмгольца

, (7.6)

где Лапласиан,

a – радиус Земли.

Сферические функции выражаются через другие ортогональные функции

, (7.7)

нормированные присоединенные функции (полиномы) Лежандра степени n, порядка m, можно использовать Гауссову широту x = cos θ.

Перейдем от показательной функции к тригонометрическим, тогда

, (7.8)

. (7.9)

Формулу (7.5) можно представить в виде

, (7.10)

где An,m, Bn,m – коэффициенты разложения.

Рассмотрим свойства присоединенных полиномов Лежандра.

1. Если порядок m = 0, то получим Pn(x) – так называемый полином Лежандра, который является решением уравнения

, (7.11)

Аналитическое выражение функции Лежандра степени n записывается в виде

, (7.12)

откуда P0(x)=1, P1(x)=x, P2(x)=0,5(3х2-1), P3(x)=0,5(5х3-3х) и т.д.

Выражение (7.12) носит название формулы Родрига. Из нее следует, что функция Лежандра является полиномом n - й степени от х.

Полином Лежандра образует систему ортогональных функций на отрезке -1÷ +1, т.е.

(7.13)

Для полиномов Лежандра соседних степеней n–1, n, n+1, существует рекуррентная формула

. (7.14)

2. Если порядок полинома m > 0, то присоединенная функция Лежандра является решением уравнения

(7.15)

и связана с полиномом Лежандра зависимостью

. (7.16)

Из последнего равенства видно, что при четном m, поскольку многочлен

является полиномом m - й степени, а производная

полиномом (n– m) - й степени, присоединенная функция Лежандра есть полином степени n от аргумента х.

Система присоединенных полиномов Лежандра является ортогональной на отрезке -1÷ +1, т.е. для нее существует соотношение

Для присоединенных полиномов Лежандра также существуют рекуррентные формулы

. (7.17)

или в случае x = cosθ,

. (7.18)

В итоге:

- присоединенные полиномы Лежандра ортогональны на отрезке -1÷ +1;

- присоединенные полиномы Лежандра n - й степени и m - го порядка пропорциональны производной m - го порядка от полинома Лежандра n - й степени;

- порядок присоединенной функции Лежандра не может превышать ее степень, т.е. всегда n m;

- присоединенный полином Лежандра имеет свойство .

 

Сферические функции также являются ортогональными. Кроме этого, сферические функции с m ≥ 0симметричны относительно экватора, если n – m – четные, и антисимметричны, если n – m – нечетные. При этом n – m равно числу нулевых точек по θ между Северным и Южным полюсом. Сферические функции обращаются в 0 на полюсах при m ≠ 0 и отличны от нуля при m = 0. В последнем случае - обычные полиномы Лежандра.