Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Уравнение неразрывности



 

Основным условием, которое должно соблюдаться при течении жидкости или газа, является непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени. Это значит, что при течении жидкости должны быть соблюдены условия «сплошности». Жидкость или газ должны двигаться в соответствующих каналах как сплошная среда без разрывов. Сформулируем это условие. Отнесем поток жидкости к системе координат x, y, z (рис.2.2.11).

 
 

 

 


 

 

 

 

Рис.2.2.11.

В потоке выберем точку М с координатами x, y, z. Изолируем неподвижный объем в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy и dz. Составляющие скорости течения жидкости в точке М равны: ux – вдоль оси x, uy – вдоль оси y, uz – вдоль оси z. Через площадку параллелепипеда dydz, в течение времени dt внутрь параллелепипеда втекает масса жидкости, равная ρuxdydzdt.

Из объема параллелепипеда в течение времени dt через площадку dydz, с координатами x + dx, y, z вытекает масса жидкости, равная

 

(39)

 

Следовательно, при течении жидкости с составляющей скорости ux масса жидкости в объеме dxdydz изменяется на величину

 

(40)

 

При прохождении жидкости через другие грани параллелепипеда масса жидкости в объеме dxdydz можно записать:

 

(41)

 

Суммарное изменение массы жидкости в объеме dxdydz равно:

 

(42)

 

Изменение массы жидкости в объеме dxdydz может произойти только за счет изменения плотности ρ за период времени dt. В общем случае плотность жидкости или газа является функцией координат x, y, z и времени t, или ρ = f(x,y,z,t) Плотность жидкости в объеме, ограниченном dxdydz, может меняться как , а масса жидкости в элементарном объеме за период времени dt на .

Для сохранения «сплошности» жидкости должно быть соблюдено условие:

 

(43)

Уравнение (41) в гидромеханике называют уравнением неразрывности.

Если течение установившееся, то , в этом случае уравнение «сплошности» можно представить следующим образом:

 

(44)

 

В том случае если жидкость несжимаемая ρ = const и тогда уравнение (44) примет вид:

(45)

 

Рассмотрим уравнение «сплошности» (сохранения массы движущейся жидкости) для случая течения элементарной струйки при установившемся движении. Схема течение массы жидкости в элементарной струйке представлена на рис. 2.2.12. Пусть сечение 1-1 трубки тока имеет площадь dω1, и в этом сечении скорость жидкости u1, а ее плотность ρ1. Площадь сечения 2-2 трубки тока равна dω2, скорость сечения жидкости u2 и ее плотность ρ2. Скорости струйки направлены по касательной к стенкам трубки тока, поэтому через стенки обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через сечение 1-1 в трубку тока в единицу времени поступает масса жидкости, равная ρ1u1ω1. Через сечение 2-2 вытекает в единицу времени масса жидкости, равная ρ2u2ω2. В трубке тока масса жидкости, находящаяся между сечениями 1-1, 2-2 и 3-3 остается постоянной, следовательно, условие «сплошности» потока в трубке тока будет: = = = const ,т.е. вдоль трубки тока произведение ρuω остается постоянным.

 

Рис.2.2.12.