Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Случайная величина X подчиняется нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием a и неизвестной дисперсией.



В этом случае количество измерений n также может быть любым числом не меньше одного. Для решения уравнения (4.7) рассмотрим вспомогательную случайную величину

 

(4.10)

 

Закон распределения вероятностей для случайной величины z был получен Стьюдентом. Сформулируем результат в виде теоремы.

Теорема 4.2. (Стьюдента) Пусть компоненты системы случайных величин (X1, X2, …, Xn ) независимы, имеют одинаковые нормальные распределения с математическим ожиданием, равным числу a и неизвестной дисперсией. Тогда случайная величина имеет закон распределения Стьюдента с n-1 степенью свободы.  

 

Решение уравнения (4.7), в котором , сводится к решению равносильного уравнения (4.11).

 

(4.11)

 

Найдём из таблицы значений вероятности для распределения точку x*, для которой вероятность, соответствующая промежутку

(0, x*) при данном числе степеней свободы равна /2. Число x* является радиусом окрестности нуля, в которую случайная величина z «попадает» с вероятностью . Следовательно, найти неизвестное число r можно из равенства:

= x* . То есть r = .

Пример 4.10. Произведено пять независимых опытов по измерению случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения с неизвестным математическим ожиданием a и неизвестной дисперсией Получен массив: -2.5, 3.4, -2, 1, 2.1. Найти доверительный интервал для математического ожидания при =0.9.

 

Вычислим выборочное среднее: . Оно будет стоять в центре интервала. Вычислим исправленную дисперсию:

 

.

 

Для вероятности 0.45 найдём точку x* из таблицы для функции (Приложение 4): Следовательно, радиус окрестности равен r = , а доверительный интервал имеет вид 0.4 2.45.