Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ



ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1

ТЕМА: Прямі методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гауса.

 

МЕТА: Опанувати методом Гауса для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) за схемою єдиного ділення та повного вибору.

 

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими має вигляд:

, (1)

або в компактному вигляді (2)

В матричній формі запишемо систему так:

, (3)

де - матриця коефіцієнтів системи; - вектор вільних членів; - вектор невідомих.

Система (1) буде мати єдиний розв’язок, якщо матриця А невироджена, тобто .

Чисельні методи розв’язування СЛАР діляться на дві групи: прямі та ітераційні.

Прямі методи дозволяють за скінчену кількість дій отримати точний розв’язок системи (1), якщо елементи матриці А і вектор вільних членів задано точно, і обчислення проводяться без округлень.

Ітераційні методидозволяють знайти наближений розв’язок шляхом побудови послідовності наближень (ітерацій):

,

починаючи з деякого наближення

.

Вибір методу розв’язування СЛАР залежить:

· від властивостей матриці А;

· від кількості рівнянь;

· від характеристик комп’ютера (швидкодії, розрядної сітки, об’єму оперативної пам’яті).

Прямі методи використовуються для розв’язування систем невеликої вимірності ( ).

Ітераційні методи використовують зазвичай для систем великої вимірності ( ), коли використання прямих методів є недоцільним через необхідність виконувати занадто велику кількість арифметичних операцій.

Метод Гауса є найрозповсюдженим прямим методом розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Ідея методу полягає у зведенні матриці коефіцієнтів системи A до трикутного вигляду, що досягається послідовним вилученням невідомих із рівнянь системи. Отримується еквівалентна система:

, (4)

або в матричній формі запису: .

Зведення системи (1) до еквівалентної (4) називається прямим ходом метода Гауса, а розв’язування системи (4), тобто послідовне визначення невідомих, - зворотним ходом метода Гауса.

Прямий хід можна реалізувати за двома схемами.

Схема єдиного ділення. Послідовно з системи (1) вилучаються невідомі x1, x2, …, xi, …, xn-1. Для вилучення i-ой невідомої з рівнянь системи з номерами i+1, i+2,…, n розділимо і-те рівняння на коефіцієнт . Потім від кожного i+1, і+2,…, n рівняння будемо віднімати і-те рівняння, помножене на відповідні коефіцієнти , , …, :

(5)

 

Зворотний хід виконується через прямі підстановки за формулами:

(6)

Схему повного вибору доцільно використовувати, якщо матриця коефіцієнтів розріджена нулями, або діагональні елементи матриці є малими величинами. Серед елементів матриці А обирають головний - найбільший по модулю:

.

Рядок і стовпець, в якому знаходиться головний елемент, теж називають головними. Всі елементи головного стовпця ділять на головний елемент зі знаком «-»:

. (7)

Потім, вилучають з системи невідому xq . Для цього, до кожного неголовного і-го рядка (і=1,2,…,n; i≠p) додають головний р-ий рядок, помножений на відповідний множник :

(8)

Головні рядок і стовпець вилучаємо з матриці, і обираємо новий головний елемент. Дії продовжуємо до тих пір, доки не будуть вилучені всі невідомі з системи. Щоб визначити значення невідомих, об’єднуємо в систему всі головні рядки, починаючи з останнього вилученого.

На практиці при розрахунках користуються розширеною матрицею коефіцієнтів системи, яку отримують із матриці A, доповнюючи її справа вектором .

ЗАВДАННЯ

Методом Гауса за схемами єдиного ділення та повного вибору розв’язати СЛАР.