Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Уравнение неразрывности потока



Уравнение неразрывности потока представляет собой закон сохранения массы для элементарного объема пористой среды. Выделим мысленно в пористой среде, в которой происходит движение однородной, сжимаемой жидкости или газа объем в виде параллелепипеда с ребрами Dx, Dy, Dz (Рис. 1.3). Найдем массу, которая входит в выделенный объем вдоль оси x за время Dt. Обозначим левую и правую грани индексами 1 и 2. Через левую грань войдет масса (r ux)1 Dy Dz Dt, а через правую грань войдет масса (r ux)2 Dy Dz Dt.

Рис. 1.3
 
 

. Схема элемента пласта

Тогда внутри объема останется масса равная разности этих масс d mx. Если расстояние между гранями Δx устремить к нулю, то эта разность преобразуется к виду:

(1.33)

Аналогично можно найти массы, которые останутся внутри объема при движении вдоль осей y и z. Таким образом, общая масса оставшаяся внутри объема равна сумме этих масс

. (1.34)

С другой стороны масса жидкости внутри порового пространства выделенного объема равна произведению плотности r, пористости m и объема. Поэтому увеличение массы для бесконечно малого промежутка времени равно:

(1.35)

Прировняв эти массы и преобразовав полученное уравнение, получим дифференциальное уравнение неразрывности потока:

. (1.36)

Первое слагаемое в этом уравнении отвечает за нестационарность движения, поэтому если это слагаемое равно нулю, по движение стационарно. Остальные слагаемые отвечают за движение вдоль соответствующих осей.

Отметим, что уравнение неразрывности потока справедливо только в том случае, если поток неразрывен, то есть в потоке нет других жидкостей или газов, а также нет источников или стоков, выделяющих или поглощающих флюид (химических реакций, фазовых превращений и т. д.). В дивергентном виде это уравнение записывается:

. (1.37)

В частных случаях уравнение упрощается. Для плоскопараллельного потока (приток к галерее)

. (1.38)

Для плоско радиального потока (приток к скважине)

(1.39)

Для радиально-сферического потока

(1.40)

При стационарном движении уравнение неразрывности удобно записать в интегральном виде. Для этого выберем элементарную струйку или поток, боковые поверхности которого непроницаемы для жидкости, а торцевые представляют собой поперечные сечения, то есть, перпендикулярны направлению скорости. Проинтегрируем уравнение неразрывности потока по объему между этими сечениями и применим теорему Остроградского - Гаусса то, есть перейдем от интеграла по объему к интегралу по боковой поверхности этого объема:

(1.41)

В этом выражении производная по времени обратилась в ноль так, как движение стационарное. Интеграл по боковой поверхности равен нулю так, как скалярное произведение вектора скорости и нормали к боковой поверхности SБ равно нулю (угол между этими векторами составляет 90° из-за того, что граница непроницаема). В первом поперечном сечении угол между вектором скорости и нормали к поперечному сечению составляет 180°, поэтому косинус этого угла в скалярном произведении равен минус единице. Поэтому интеграл по поверхности первого поперечного сечения представляет собой массовый расход в этом поперечном сечении с отрицательным знаком. Аналогично интеграл по поверхности второго поперечного сечения представляет собой массовый расход в этом поперечном сечении, но с положительным знаком так, как угол между вектором скорости и нормали к поперечному сечению равен нулю. Из полученного выражения следует, что массовый расход в любом поперечном сечении потока при стационарном движении величина постоянная.

(1.42)

Если происходит движение несжимаемой жидкости, то плотность в разных сечениях будет постоянной. Поэтому для несжимаемой жидкости будет постоянным не только массовый расход, но и объемный расход.