Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Физический смысл ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

(3)

Рассмотрим горизонтально расположенную пружину с закреплённым левым концом . На правом конце пружины приклеплен груз массой m.

Обозначим точку отсчета

(в этом положении пружина не растянута). Обозначим

через положение груза в момент времени , как обычно через обозначим скорость,

через ускорение груза. Обязательно указываем физический закон, которому удовлетворяет

пружина. Это закон Гука. Считаем , что в момент времени на массу m действует сила упругости пружины равная ( ), сила сопротивления среды (например пружина находится в жидкой среде)( )и некая внешняя сила растягивающая пружину . По второму закону Ньютона

Пусть верхний конец пружины приклеплён к потолку , а к нижнему концу прикреплён груз массой m. Посмотрим, как будет выглядеть уравнение движения груза в этом случае. Пусть ось координат ОУ направлена вертикально вниз и положение грузика в нерастянутом состоянии . Под действием силы тяжести пружина растянется и упругая сила пружины уравновесит вес груза :

В момент времени на пружину будет действовать сила упругости ,

сила сопротивления среды , внешняя сила воздействия на пружину и сила тяжести . По второму закону Ньютона

Получаем то же самое уравнение.

Рассмотрим различные ситуации .

Если на пружину не действует внешняя сила и она совершает колебания в среде с сопротивлением. То дифференциальное уравнение принимает вид Положительная константа характеризует среду сопротивления движению. Положительная константа характеризует материал, из которого изготовлена пружина. Характеристическое уравнение даёт корни

Пусть среда сопротивления движению мала по сравнению с массой m и упругостью пружины , а именно . Тогда

ДУ в этом случае принимает вид . Грузик на пружине будет совершать колебания по закону . Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то уравнение движения грузика будет

 

Рис .1

Уменьшим вязкость среды и положим . Тогда колебания грузика будут даваться дифференциальным уравнением . Общее решение которого

Имеет вид

Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то уравнение движения грузика будет

Рис.2

Пусть колебания грузика происходят в вакууме , т.е. среда не сопротивляется движению грузика =0, . Тогда дифференциальное уравнения движения грузика принимает вид

, а общее решение .

Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то уравнение движения грузика будет

 

Рис .3

Пусть теперь среда, в которой колеблется пружина, очень вязкая

ДУ становится таким . А уравнения движения грузика имеет вид

Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то уравнение движения грузика будет

Рис.4

Пусть теперь среда, в которой колеблется пружина , такова, что . Например

ДУ в этом случае становится таким . А уравнение движения грузика имеет вид . Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то уравнение движения грузика будет

 

Движение грузика будет неустойчивым и если продолжать уменьшать вязкость среды начнутся колебания.

Рис.5

Рассмотрим движение грузика под действием внешней силы

Центр колебаний груза смещён в точку

Рис.6

Рассмотрим движение грузика под действием внешней силы

Рис.7

Центр колебаний груза постоянно с течением времени смещается вправо.

 

Рассмотрим движение грузика под действием внешней периодической силы

 

Рис .8

Рассмотрим движение грузика под действием внешней силы

Рис9.

Амплитуда колебаний растёт (резонансное явление).

 

 

Практическое занятие 12

 

 

А. Найти частное решение неоднородного ЛДУ

 

Б. Используя принцип суперпозиции найти общее решение неоднородного ЛДУ

 

В. Решить начальную задачу

 

Домашнее задание.

 

Решить начальную задачу

 

 

Ответы :

1)

2)