Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Через проекции перемножаемых векторов.



Запишем вектора и в декартовом базисе:

и .

Для доказательства формулы теоремы составим таблицу векторных произведений ортов осей

 

Используя эту таблицу, вычислим векторное произведение векторов и :

=

.

Отсюда следует, что ; ; . Для запоминания этих формул существует мнемоническое правило: надо запомнить переход проекций от одной к другой ; для нахождения, например проекции , надо взять компоненту первого вектора и умножить на компоненту второго вектора, а затем вычесть их произведение, обменяв местами обозначение компонент. С другой стороны, полученную формулу можно записать в виде

.

Полученное выражение представляет собой раскрытие определителя III порядка по элементам первой строки, т. е. .

Пример 1. Найти, при каком значении параметра вектор колли-неарен вектору .

Согласно свойству 4 для векторного произведения найдем векторное произведение заданных векторов

= .

Так как вектор должен быть нулевым, то все его проекции должны быть рав-ными нулю, следовательно, .

Пример 2. Найти векторное произведение векторов и .

= .

Приложения векторного произведения.

1. Физика. Пусть точка начала вектора закреплена, а к его концу приложена сила , тогда момент этой силы будет равен (рис. 11).

 

 

Рис. 11. Момент силы .

2. Геометрия. Даны три точки , и . Требуется вычислить площадь треугольника (рис. 14). Введем в рассмотрение вектора и .

 

Рис. 12. Площадь треугольника .

Проекции векторов равны и .

Так как площадь треугольника составляет половину от площади параллелограмма, площадь которого равна модулю векторного произведения векторов и , то

.

Пример 3. Даны три точки , и . Вычислить площадь треугольника .

Введем в рассмотрение вектора и , вычислим их векторное произведение

= .

Следовательно, площадь треугольника равна .

3. Тригонометрия. Выведем формулу для .

Пусть в плоской декартовой системе координат даны вектора и , которые образуют с положительным направлением оси углы и , соответственно (рис. 13).

 

 

 

Рис. 13. Синус суммы двух углов.

Проекции векторов равны

и .

Используя формулу для векторного произведения векторов и свойство 4 для определителей, получим . Раскрыв этот определитель по элементам третьего столбца, получим . Длина этого вектора равна . С другой стороны, по определению векторного произведения его длина равна . Сравнивая две полученные формулы, получаем формулу для синуса суммы двух углов. В частности, при получаем, что .