Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Смешанное произведение векторов.



О4. Смешанным произведением векторов , и называется число равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , т. е. .

Получим формулу для вычисления смешанного произведения

.

Обменяв местами первую строку со второй, а затем и с третьей, получим окон-чательную формулу . Таким образом, смешанное произведение векторов представляет собой определитель III порядка, откуда следуют его свойства:

1. , т.е. вектора, входящие в смешанное произведение, можно циклически переставлять местами, поэтому зачастую смешанное произведение пишут без знаков .

2. Смешанное произведение векторов , и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком «+», если тройка векторов правая, и со знаком «-», если тройка векторов левая (рис. 14):

.

 

Рис. 14. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Так как , то

.

3. Если вектора , и компланарны (лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях), то их смешанное произведение равно нулю, т. е. .

Свойство 3 определяет условие компланарности трех векторов, т.е если , то вектора , и лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Пример 4. Доказать, что вектора , и компланарны.

Согласно формуле, определяющей смешанное произведение векторов, имеем

.

Пример 5. Даны четыре точки , , и . Вычислить объем параллелепипеда.

Составим вектора , и . Вычислим объем параллелепипеда

.

Положительность вычисленного объема указывает на то, что вектора , и образуют правую тройку.

Самостоятельная работа № 2Основы векторной алгебры

Даны четыре точки , , , . Варианты точек

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

 

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

1. Найти вектора и . Имеются ли среди них коллинеарные? Построить вектора , и вектора и на плоскости , положив аппликаторную координату вектора равной нулю. Записать разложение векторов и по декартовому базису .

2. Найти единичный вектор того же направления что и вектор .

3. Найти направляющие косинусы вектора . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4. Найти .

5. Определить координаты вектора , коллинеарного вектору , зная, что и он направлен в сторону, противоположную вектору .

6. Вычислить скалярные произведения и . Перпендикулярны ли вектора и , и между собой?

7. Найти работу, совершенную материальной точкой, к которой приложена сила , при перемещении ее из т. в т. .

8. Найти внутренний угол при вершине и внешний угол при вершине треугольника .

9. Найти и .

10. Вычислить , и угол .

11. Найти площадь и длину его высоты, опущенной из т. .

12. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и .

13. Найти величину и направляющие косинусы момента силы , приложенной к т. относительно т. .

14. Лежат ли вектора , и в одной плоскости? Могут ли эти вектора образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор .

15. Чему равен объем пирамиды с вершинами , , , и ее высоту, опущенную из т. на основание ?

16. Вычислить и .

17. Вычислить .

18. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и , а его проекция на вектор равна 6.

19. Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , .