Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Дифференциальное уравнение температурного поля турбулентного потока



ГИДРОТЕРМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ВОДОЕМОВ И ВОДОТОКОВ

Целый ряд практических задач, выдвигаемых в настоящее время гидрологией и гидротехникой, требуют изучения распространения теплоты в водных ламинарных или турбулентных потоках.

Дифференциальное уравнение температурного поля турбулентного потока

В пределах потока выделим в системе декартовых координат x, у, z элементарный параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 5.1). Рассмотрим его тепловой баланс. Через грани параллелепипеда теплота будет распространяться двумя путями:

1) вместе с водными массами, пронизывающими грани параллелепипеда со скоростями υx, υy, υz — молярный перенос;

2) молекулярной теплопроводностью в ламинарных потоках (с коэффициентом теплопроводности λ) и турбулентной теплопроводностью в турбулентных потоках (с коэффициентом теплопроводности λт, во много раз превышающим λ).

Рис. 5.1. Схема к выводу дифференциального уравнения теплопроводности потока жидкости [8]

 

Уравнение теплового баланса для выделенного элементарного объема жидкости в этом случае будет иметь следующий вид:

(5.1)


где и т. д. — количество теплоты, обусловленное скоростью потока жидкости через соответствующие грани в направлении осей x, у, z завремя dτ, a и т. д. — количество теплоты, обусловленное теплопроводностью потока через эти же грани и за то же время dτ.

В том случае, когда потоки теплоты, проходящие через грани параллелепипеда, взаимно не компенсируются, т. е. в него входит теплоты больше, чем выходит, или наоборот, будет наблюдаться изменение энтальпии рассматриваемого объема dx dy dz, которое в уравнении (5.1) обозначено через Q7.

Определим составляющие уравнения (5.1).

Количество теплоты, поступившее в параллелепипед через грань dy dz молярным путем за время dτ,оценим по формуле

Q1 = cρυx t dy dz dτ, (5.2)

где c и ρ — удельная теплоемкость и плотность жидкости; υx — проекция скорости на ось x; ρVx dy dz — расход жидкости через грань параллелепипеда dy dz; t — температура жидкости, проходящей через грань dy dz.

Количество же теплоты, выходящее из элементарного параллелепипеда через противоположную грань, отстоящую от первой на расстоянии dx,

 

(5.3)

 

где υx/∂x и ∂t/∂x — изменение скорости и температуры жидкости внутри выделенного объема по оси x.Знак минус в этом уравнении свидетельствует о том, что Q2 уходящее из элементарного параллелепипеда количество теплоты.

Для остальных граней параллелепипеда будем соответственно иметь:

 

 

(5.4)

 

Другие шесть слагаемых уравнения (5.1) обусловленные турбулентной теплопроводностью, определим по следующим формулам:

 

 

(5.5)

где λт = т — коэффициент турбулентной теплопроводности, Ат — коэффициент турбулентного обмена жидкости.

Изменение энтальпии рассматриваемого объема Q7 определим по формуле

 

(5.6)

 

Решая совместно уравнения (5.1) — (5.6), получаем

 

 

 

(5.7)

 

При совместном решении уравнений (5.1) — (5.6) учтено условие неразрывности несжимаемой жидкости

υx/∂x + υy/∂y + υz/∂z = 0 (5.8)

 

и отброшены слагаемые

а также

из-за их малости по сравнению с другими. Уравнение (5.7) носит название дифференциального уравнения температурного поля турбулентного потока жидкости. Его также называют уравнением энергии.

При постоянном значении коэффициента турбулентной теплопроводности λт для всего потока уравнение (5.7) примет вид

 

(5.9)

 

Коэффициент турбулентной теплопроводности изменяется в зависимости от координат x, у, z. Но, так как накопленные к настоящему времени знания об его изменений по координатам не позволяют определять характер этой зависимости, его обычно принимают постоянным.

Учитывая, что левая часть уравнения (5.9) — полная производная от температуры по времени, его можно представить в виде

dt/dτ = ат (2t/∂x2 + 2t/∂y2 + 2tl∂z2) (5.10)

или

dt/dτ = ат Ñ2t, (5.11)

где ат = λт/(cρ) —коэффициент турбулентной температуропроводности.

При наличии в потоке внутренних источников теплоты (например, теплоты, появляющейся при изменении агрегатного состояния воды — при внутриводной кристаллизации, при переходе кинетической энергии движения потока в тепловую, при проникновении лучистой энергии в воду и т. д.) уравнение (5.10) должно быть дополнено еще одним слагаемым, связанным с источником

(5.12)

 

где W — интенсивность внутреннего источника (количество теплоты, которое выделяется или поглощается единицей объема жидкости).

Из сопоставления выражений (3.52) и (5.10) следует, что уравнение энергии отличается от дифференциального уравнения теплопроводности полной производной, учитывающей три дополнительных слагаемых, и коэффициентом турбулентной температуропроводности ат.

Для ламинарного потока уравнение энергии аналогично уравнению (5.11):

dt/dτ = а Ñ2t, (5.13)

где а = λ/(cρ) — коэффициент температуропроводности жидкости.

В случае установившегося температурного режима водного потока температура в каждой точке его остается неизменной во времени (∂t/∂τ = 0) и меняется лишь по направлениям x, у, z, а уравнение (5.9) принимает следующий вид:

 

(5.14)