Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

РЕШЕНИЕ



 

Определение неизвестных токов и ЭДС с помощью законов Кирхгофа

 

Согласно исходным данным составляем электрическую схему (Рис. 1). Произвольно выбираем направления токов в ветвях (кроме заданного направления тока I23).

Составляем уравнения по правилам Кирхгофа.

По первому закону составим число уравнений равное числу узлов в схеме без единицы, т. е.: 4-1 = 3 уравнения:

узел 1: I14+I13 = I21 +J21

узел 3: I34 +I23 = I13
узел 4: I24 = I14 +I34

 

По второму закону число уравнений равно числу ветвей схемы за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа и числу ветвей, содержащих источники токов, т.е. 7 – 4 + 1 - 1 = 3 (обход контуров производится по часовой стрелке):

 

I23 * R23+ I13* R13 + I21* R21 = E23 –E13 + E21

- I13 * R13 - I34 * R34 + I14 * R14 = E13 – E43 + E14

- I21 * R21 – I14 * R14 – I24 * R24 = - E21 - E14 - E24

 

Объединим полученные системы в одну:

 

I14+I13 = I21 +J21
I34 +I23 = I13
I24 = I14 +I34

I23 * R23+ I13* R13 + I21* R21 = E23 –E13 + E21

-I13 * R13 - I34 * R34 + I14 * R14 = E13 – E43 + E14

-I21 * R21 – I14 * R14 – I24 * R24 = - E21 - E14 - E24

 

Подставляя в полученную систему уравнений заданные значения токов, величины ЭДС, источника тока и сопротивлений, получаем систему алгебраических уравнений с шестью неизвестными:

 

I14 + I13-I21 = 0.9

I34 – I13 =- 0.6

I24 – I14 -I34 = 0

80*I13 +80*I21 – E23 = -44

- 80*I13 - 40*I34 + 80* I14 = 70

- 80*I21 – 80*I14 - 40*I24 = -110

 

Полученная система шести уравнений с шестью неизвестными имеет единственное решение. Для определения токов и ЭДС воспользуемся матричным методом решением системы алгебраических уравнений. Для этого представим данную систему в виде произведения матриц А*Х = В,решением которого будет уравнение Х = А-1. Результаты решения получаем используя табличный процессор EXCEL:

  ИСХОДНЫЕ МАТРИЦЫ  
  I41 I13 I12 I24 I43 E23          
  -1   I41   0,9  
  -1   I13   -0,6  
A = -1 -1 X= I12 B=  
  -1   I24   -44  
  -80 -40   I43    
  -80 -80 -40   E23   -110  
                       
                       
  Обратная матрица А       Результат
  0,285714 -0,14286 0,003571 -0,003571429   0,9   0,9 I41
  0,190476 -0,33333 -0,09524 -0,00595 -0,002380952   -0,6   0,216667 I13
  -0,52381 -0,33333 -0,2381 -0,00238 -0,005952381 В=   0,216667 I12
  0,47619 0,666667 0,761905 -0,00238 -0,005952381   -44   0,516667 I24
  0,190476 0,666667 -0,09524 -0,00595 -0,002380952     -0,38333 I43
  -26,6667 -53,3333 -26,6667 -1 -0,66667 -0,666666667   -110   78,66667 E23

 

Определение неизвестных токов и ЭДС методом контурных токов

Так как узлы 1 и 3 соединены двумя ветвями, прибегнем к замене этих ветвей одной эквивалентной, определив E31Э (Рис.2).

 

 

 

Е21Э = R21 *J +E21 =80*0,9 + 30 = 102В

 

Электрическая схема имеет следующий вид:

 

 

Для определения неизвестных величин методом контурных токов составляем основные уравнения для контуров:

 

R11*I11 - R13*I22 - R12*I33 = E11

-R13*I11 + R22*I22 – R14*I33 = E22

-R12*I11 – R14*I22 + R33*I33 = E33

 

Применительно к заданной электрической схеме система имеет следующий вид:

(R23 + R21 + R31)*I11 – R13*I22 – R12*I33 = E23 – E13 + E21Э

- R13*I11 + (R13 + R14 + R34)*I22 – R14* I33 = E13 – E43 + E14

- R12*I11 – R14*I22 + (R21 + R24 + R14)*I33 = -E21Э – E14 - E24

 

Подставим заданные значения сопротивлений, тока I11 = I23 и ЭДС, получим:

 


- 80*I22 – 80*I33 – E12 = - 68

200*I22 – 80*I33 = 118

-80*I22 + 200*I33 = -134

 

Аналогично предыдущему, используем матричный метод для решения этой системы:

 

    РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ      
                         
    I22 I33 E23                
    -80 -80 -1   I22     -68      
  A = -80 X= I33   B=      
    -80   E23     -134   Результат
                      0,9 I41
                      0,216667 I13
    Обратная матрица А       Результат 0,517 I23
    0,005952 0,002381   -68     0,383333 I22 0,516667 I24
    0,002381 0,005952 B=     -0,51667 I33 -0,38333 I43
    -1 -0,66667 -0,66667   -134     78,66667 E23 78,66667 E23
                             

Энергетический баланс электрической цепи

Баланс мощностей рассчитываем для схемы, изображенной на рис. 1, так как схема на рис. 3 не эквивалентна ей в отношении энергии.

Общий вид уравнения энергетического баланса:

ΣI2*R = ΣE*I + U31*J,

где U31 = φ2 – φ1 = E12 - I12*R12 = 12,667 В.

Расчет проведен в EXCEL:

 

Таким образом, баланс мощностей рассчитан верно.

 

Расчет тока в ветви 4-1

Поскольку требуется определить ток лишь в одной из ветвей, целесообразно применить метод эквивалентного источника. Для этого вся остальная по отношению к выделенной ветви 4-1 часть цепи, содержащая источники и являющаяся активным двухполюсником, заменяется одним эквивалентным источником с элементами Еэ и Rэ . Согласно этому методу ЭДС Еэ равна напряжению U41x цепи с отключенной ветвью 4-1, а сопротивление Rэ равно сопротивлению цепи без ветви 4-1 относительно зажимов 4,1. Тогда формула для определения тока в ветви имеет следующий вид:

 

где U41X4 – φ1 .

Схема принимает вид

 

Для определения потенциалов точек 4 и 1 используем метод узловых потенциалов (φ2 = 0):

 

 

Подставляя числовые значения в полученную систему уравнений, получаем:

Решаем данную систему аналогично предыдущему в EXCEL:

 

  0,63 -0,0125 -0,025   Φ3   3,32  
А= -0,0125 0,025 X= Φ1 B= -1,9  
  -0,025 0,05   φ4    
                 
    Обратная матрица А         Результаты  
  1,635992 0,81799591 0,817996       3,877301 Φ3
  0,817996 40,40899796 0,408998       -74,0613 Φ1
  0,817996 0,408997955 20,409       1,93865 φ4

 

Находим напряжение холостого хода между узлами 1 и 4:

U14X = φ1 – φ4 =-74,06131,93865= -75,99 В.

 

Составляем схему для определения RЭ относительно зажимов 1 и 4

Преобразуем треугольник сопротивлений R24 = R23 = R34 = 40 Ом в звезду сопротивлений R4 = R2 = R3 = 40/3 Ом. Тогда эквивалентное сопротивление RЭ определяется по формуле:

Определяем ток в ветви 1-4:

 

, величина которого равна ранее рассчитанному току другими методами