Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Функции состояния

До сих пор мы подразумевали, что наблюдаемые имеют дискретный спектр допустимых значений. Однако существует множество наблюдаемых, спектры которых непрерывны. Если представить себе спектральный анализатор, предназначенный для измерения такой наблюдаемой, то можно легко догадаться, что на выходе из него может получаться бесконечное число вторичных пучков, следующих непрерывно друг за другом.

Для описания такого прибора потребуется бесконечный набор базисных состояний. Соответственно, вектор состояния, проанализированный таким прибором, будет изображаться бесконечно длинной ЛК, для которой потребуется бесконечно много чисел-координат:

| Y ñ = | А1 ñ × а1 + | А2 ñ × а2 + ... + | Аi ñ × аi + ....

Это создает определенные трудности, которые, однако, легко обойти. Дело в том, что соседние базисные состояния практически одинаковы, а, следовательно, и соответствующие им амплитуды-координаты бесконечно мало отличаются между собой. Другими словами, при перемещении вдоль непрерывной совокупности базисных состояний координаты вектора состояния изменяются закономерно. Эту закономерность всегда можно описать с помощью алгебраической функции типа:

ai = F ( i ) или ai = F ( Аi )

Располагая такой функциональной зависимостью, мы всегда можем вычислить интересующую нас амплитуду с заданным номером ( i ) или соответствующую некоторому заданному значению наблюдаемой ( Аi ).

Таким образом, любой вектор можно рассматривать как некоторую алгебраическую функцию — непрерывную или дискретную, и наоборот, всякая функция может быть интерпретирована как вектор с конечным или бесконечным числом координат. Изображение вектора состояния с помощью функциональной зависимости называется функцией состояния.

Типичным примером наблюдаемых с непрерывным спектром являются пространственные координаты, например х, y, z. Предположим, что мы имеем частицу, запертую внутри прямоугольного ящика с размерами Lx, Ly и Lz. Измеряя пространственное положение частицы, мы можем получить любой набор координат, лежащих внутри интервалов:

0 < x < Lx 0 < y < Ly 0 < z < Lz

Другими словами, частица может быть обнаружена в любой точке внутри ящика. При этом каждой точке будет соответствовать своя вероятность и своя амплитуда. Этот бесконечный набор вероятностей и амплитуд удобно выразить в виде двух функций — вероятностной (Р) и амплитудной (Y): P = P (x, y, z) и Y = Y (x, y, z). При этом в каждой точке пространства будет выполняться равенство:

P (x, y, z) = |Y (x, y, z) | 2

Функциональные представления векторов состояний удобны еще и тем, что в этом случае вектор можно изобразить наглядно — посредством графика функции состояния. В большинстве случаев, такие графики имеют волнообразную форму, что в некоторой степени оправдывает использование термина "волновая функция". Так, для приведенного примера системы ("частица в трехмерном ящике") волновая функция представляет собой произведение трех синусоид:

Y (x, y, z) ~ sin[knx/Lx)x] × sin[kny/Ly)y] × sin[knz/Lz)z]

и ее график имеет, соответственно, характерный "синусоидальный" вид.