Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Унитарные операторы



Для полноты картины следует отметить рассмотренные ранее унитарные операторы, которые в квантовой механике играют вспомогательную роль — служат для перехода от одного представления вектора состояния (волновой функции) к другому.

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА

Для иллюстрации методики применения математического аппарата рассмотрим наблюдаемую, называемую спиновым моментом (или просто спином) микрочастиц. Спин является характеристикой векторного типа, для задания которой необходимо указать:

- длину (модуль) вектора спина |S |,

- направление (ориентацию) вектора спина в пространстве, которую можно определить, например, указанием проекций этого вектора на декартовы координатные оси Sx, Sy и Sz .

Когда мы говорим, что спин — наблюдаемая величина, то подразумеваем, что должна существовать экспериментальная процедура, позволяющая установить как длину, так и направление вектора S. Эта процедура основана на известном физическом законе: если частица обладает электрическим зарядом и участвует во вращательном движении, то масса частицы приводит к появлению у нее механического момента (S), а заряд — к появлению магнитного момента (m). Другими словами, у любой заряженной и вращающейся частицы имеются сразу два момента — механический и магнитный, связанные между собой соотношением:

где коэффициент g называется магнитно-механическим отношением. Его величина и знак зависят от заряда и массы частицы. Например:

Наличие магнитного момента у частиц со спином и позволяет построить надлежащий спектральный анализатор. Если частицу с магнитным моментом m поместить в магнитное поле с индукцией В, то ее энергия изменится на величину, зависящую от взаимной ориентации этих двух векторов:

DE = – mB = – | m | × | B | × cos a = – mB × B

Если магнитное поле будет неоднородным, т.е. | В | = f(x, y, z), то величина магнитной энергии будет зависеть и от положения частицы в пространстве, т.е. от величины магнитной индукции в данной точке пространства. В результате, на частицу будет действовать механическая сила, толкающая частицу в область более сильного поля (при параллельной направленности векторов m и В) или в область более слабого поля (приантипараллельной направленности векторов m и В):

 

Величина этой механической силы зависит от угла a между векторами mи B, что приводит к пространственному разделению частиц со спином, имеющих разную ориентацию вектора спина (и вектора магнитного момента) по отношению к направлению внешнего магнитного поля.

Реальное физическое устройство, которое осуществляет такое пространственное разделение и сортировку частиц со спином, называется прибором Штерна-Герлаха (ШГ). Этот прибор состоит из двух длинных постоянных магнитов особой формы, создающих в промежутке между ними неоднородное магнитное поле с вертикально направленным градиентом. Через промежуток, "заполненный" неоднородным магнитным полем, пропускается пучок частиц со спином, приготовленных в некотором состоянии. Когда частицы пролетают внутри прибора, они отклоняются от первоначального направления, причем величина отклонения зависит от ориентации вектора спина относительно самого прибора.

 

Конфигурация силовых линий магнитного поля в поперечном сечении такого прибора имеет вид, изображенный на рис. , что обеспечивает повышенную напряженность возле острия нижнего магнита.

Эта конфигурация поля приведет к тому, что частицы с магнитным моментом, ориентированным вверх, будут отклоняться тоже вверх (в область слабого поля), и наоборот. В результате, узкий начальный пучок частиц растянется на выходе из прибора вдоль вертикальной оси z. Величина отклонения частицы за время ее пролетания через прибор будет определяться величиной проекции ее вектораm на вертикальную ось (mz):

где L — длина прибора, а v — скорость движения частиц.

Расставив на выходе прибора детекторы, мы сможем легко определять для каждой частицы величину вертикального отклонения, а из него — рассчитывать ориентацию векторов m и S (точнее — проекции этих векторов на вертикальную ось mz и Sz). Кроме того, измеряя максимальные отклонения вверх и вниз, мы можем оценить и длину этих векторов, поскольку максимально возможная проекция всегда совпадает с самим вектором.

Таким образом, прибор ШГ является спектральным анализатором, предназначенным для измерения двух наблюдаемых:

- Sz, называемой проекцией вектора спина (на осьz);

- | S |, называемой модулем вектора спина.

Эти два числа полностью характеризуют сложную наблюдаемую, называемую спином частицы.

Обратимся теперь к анализу результатов измерений, получаемых с помощью прибора ШГ.

Основываясь на классических представлениях о векторных величинах, можно было бы предположить, что ориентации вектора спина могут быть любыми — от параллельной, до антипараллельной. В этом случае, на выходе из прибора мы наблюдали бы некоторую сплошную зону, внутри которой плотность пучка могла бы заметно меняться, но не обращаться в ноль. Для каждого значения наблюдаемой Sz можно измерить вероятность и описать ее функцией распределения, которая могла бы иметь такой примерный вид:

Опыт, однако, показывает иную картину. Действительные функции распределения, получаемые в приборе ШГ, состоят из небольшого числа острых дискретных максимумов, разделенных пустыми промежутками:

Это говорит о том, что наблюдаемая Sz имеет дискретный спектр, состоящий из небольшого числа допустимых значений. Число максимумов n (т.н. мультиплетность) и их положения в функции распределения строго постоянны для каждого типа частиц и никогда не изменяются. В зависимости от способа приготовления частиц (т.е. от их начального состояния) могут изменяться лишь относительные величины пиков.

Отсюда следует важный физический результат:

· длина (модуль) вектора спина строго определена природой частицы и всегда имеет только одно значение (| S| = const),

· ориентация вектора спина может осуществляться только несколькими различными способами (Sz = Sz1, Sz2, . . . , Szn ), число которых (n — мультиплетность) зависит только от природы частицы и величины модуля спина,

· вероятности различных ориентаций (P1, P2, . . ., Pn) вектора спина зависят от конкретных условий приготовления частицы со спином.

На основании этих результатов вводятся некоторые вспомогательные величины (с целью удобства описания спиновых свойств частиц):

- спиновое квантовое число s, величина которого удовлетворяет соотношению n=2s+1;

- магнитное спиновое квантовое число ms, причем ms = –s, –s + 1, –s + 2, . . . . , s – 2, s – 1, s

Через эти новые вспомогательные характеристики удобно выражать допустимые значения наблюдаемых, характеризующих спин:

Так, для электронов, независимо от способа их приготовления мультиплетность всегда равна 2, откуда следуют соотношения:

Для частиц другой природы — ядер дейтерия — мультиплетность всегда равна 3, откуда следуют аналогичные соотношения:

Легко заметить, что целочисленные значения мультиплетности приводят к тому, что спиновые квантовые числа бывают только двух сортов: а) целые (при четной мультиплетности) и б) полуцелые (при нечетной мультиплетности). Это обстоятельство позволяет разделить все микроскопические объекты на два класса:

· бозоны — частицы с целым спином (s= 0, 1, 2, . . .);

· фермионы — частицы с полуцелым спином (s= 1/2, 3/2, . . .).

Такое разделение очень важно, так как бозоны и фермионы принципиально отличаются друг от друга по многим параметрам и той роли, которую они играют в образовании структур. Так, многие важные в химическом отношении свойства атомов и молекул обусловлены именно тем обстоятельством, что электроны относятся к классу частиц-фермионов. Многие свойства света обусловлены тем, что фотоны относятся к классу частиц-бозонов.

Обратимся теперь к рассмотрению формального квантово-механического описания некоторых экспериментов с прибором ШГ.

Пусть имеется пучок частиц со спином 1 (например, ядер дейтерия). Пропустим такой пучок, содержащий N частиц через прибор ШГ. На выходе мы обнаружим три вторичных пучка, содержащие соответственно N+, N0 и N частиц:

Повторяя много раз этот эксперимент, мы увидим, что числа N+, N0 и N каждый раз будут несколько отличающимися, однако, их средние значения будут стремиться к некоторым постоянным пределам — вероятностям:

(N+ / N ) ® Р+ (No / N ) ® Рo (N/ N ) ® Р

Как всякий спектральный анализатор, прибор ШГ задает набор базисных состояний. В данном случае таких состояний будет всего три:

| +Z ñ — частица характеризуется величинами ms = +1 и Sz = +h,

| оZ ñ — частица характеризуется величинами ms = 0 и Sz = 0,

| –Z ñ — частица характеризуется величинами ms = –1 и Sz = –h,

Произвольное начальное состояние может быть представлено в виде ЛК этих трех состояний:

| Y ñ = Z+ | +Z ñ + Zо| оZ ñ + Z| –Z ñ ,

где | Z+ | 2 = P+ ; | Zo | 2 = Po ; | Z| 2 = P.

Таким образом, в данном базисе вектор состояния может быть изображен набором трех чисел: | Y ñ = (Z+, Zо, Z), где числа-координаты представляют собой амплитуды попадания частицы, находящейся в начальном состоянии | Y ñ, в один из базисных пучков:

Z+ = á +Z | Y ñ Zо = á oZ | Y ñ Z = á –Z | Y ñ

Физическая интерпретация полученного результата такова.

Произвольное состояние | Y ñ является суперпозицией трех базисных состояний. В результате применения прибора происходит превращение ("редукция") этого суперпозиционного состояния в одно из базисных состояний.

Другими словами, пока частица находится в исходном пучке, мы не знаем, какой результат даст нам измерение. Мы даже не можем отличить частицы исходного пучка друг от друга. Все что можно сказать о свойствах конкретной частицы сводится к указанию трех вероятностей (Р1, Р2, Р3) или амплитуд (Z+, Zo, Z). Однако после прибора каждая частица приобретает вполне определенное значение наблюдаемой и ее состояние становится одним из базисных.

Модифицируем экспериментальную ситуацию: на пути всех вторичных пучков поставим еще по прибору ШГ, точно такому же, как и первый:

Результат будет выглядеть так:

- все частицы верхнего пучка после второго прибора ШГ окажутся снова в верхнем пучке;

- все частицы среднего пучка после второго прибора ШГ окажутся снова в среднем пучке;

- все частицы нижнего пучка после второго прибора ШГ окажутся снова в нижнем пучке.

Другими словами, если частица находится в одном из базисных состояний прибора, то повторное применение того же самого прибора не изменяет этого состояния.

На математическом языке этот результат можно сформулировать так: амплитуды перехода между различными базисными состояниями одного и того же прибора равны 0, а между одинаковыми состояниями — равны 1.

áоZ | +Zñ = á–Z |+Zñ = á+Z | oZñ = á–Z | oZñ = á+Z | –Zñ = áoZ | –Zñ = 0

á +Z | +Z ñ = á oZ | oZ ñ = á –Z | –Z ñ = 1

Для выражения этого результата удобно использовать матрицу амплитуд переходов:

или т.н. "символ Кронекера": á j|iñ=dij , равный 1 для одинаковых индексов (dij = 1 при i = j) и 0 для разных индексов (dij = 0 при i ¹ j).

В математике два вектора, скалярное произведение которых равно 0, называются ортогональными. Поэтому можно сформулировать правило:

все базисные состояния, задаваемые некоторым прибором, попарно ортогональны между собой.