Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Элементы треугольной формы



Если исходная пластина имеет произвольную границу, то форма КЭ в виде треугольника позволяет с высокой степенью точности представить область W как совокупность конечных элементов. Выбирая вершины треугольника в качестве узловых точек, получаем, что число степеней свободы такого КЭ равно 9. Наиболее подходящий полином для описания изгиба пластины имеет третий порядок:

.

Но число параметров, определяющих этот полином, превосходит число 9. Для выполнения равенства числа степеней свободы КЭ и количества параметров интерполирующего полинома введем еще одну узловую точку. Принято в качестве такой точки выбирать центр тяжести треугольника – внутреннюю точку КЭ, которая не совпадает ни с одним узлом других элементов. Если приписать узлу 4 лишь одну степень свободы, например, перемещение по оси , то между параметрами и степенями свободы КЭ можно установить взаимно однозначное соответствие и тем самым получить решение задачи интерполяции перемеще-ний для точек КЭ. Выберем произвольный конечный элемент
с номером .

На рис. 4.10 показаны локальные номера узлов этого элемента. Свойства КЭ удобно определить в локальной системе координат, которая вводится таком способом: начало осей располагается в узле 1 КЭ, ось x совпадает с узлом 2, а ось h направлена в сторону узла 3. Направление оси z выбирается так, чтобы локальная система координат была правой. Заметим, что в нашем случае направления осей z и z совпадают, так как движение от узла 1 к 2 и 3 является обходом границы КЭ против часовой стрелки.

 

Рис. 4.10. Треугольный КЭ изгибаемой плас-

тины и локальная система координат

 

Установим связь между глобальными и локальными системами координат. Пусть – орты глобальной системы. Вычислим орты локальных осей. Из простых геометрических соотношений имеем:

.

Здесь введены обозначения:

.

Отметим, что значение перемещения по нормали к поверхности пластины в разных системах координат одно и то же. Обозначим через – проекции вектора, определяющего углы поворота точек срединной поверхности пластинки на локальные оси. Тогда перемещения и углы поворота в глобальных и локальных осях связаны между собой формулой:

. (4.30)

Обозначим через вектор-столбец перемещений и углов поворота узловых точек в глобальной системе координат. Для вычисления матрицы жесткости КЭ в локальной системе координат определим еще один век-
тор-столбец:

.

Здесь – перемещение точки КЭ, расположенной в центре тяжести треугольника. Перемещение точек срединной поверхности зададим с помощью полинома третьего порядка в виде произведения векторов:

Параметры найдем, вычисляя прогибы и углы поворота узловых точек:

.

Решение этой системы уравнений имеет вид:

.

Произведение является вектором-строкой десятого порядка, элементы которой представляют собой функции формы для рассматриваемого конечного элемента.
Поэтому они определены выражением:

.

Теперь интерполирующий полином зависит только от перемещений и углов поворота узловых точек, определенных в локальной системе координат:

.

Определим векторы и :

.

Здесь введены обозначения:

.

Вычисление разности работ внутренних и поверхностных сил приводит к такому результату:

.

В этой формуле – матрица жесткости элемента, – вектор-столбец узловых нагрузок. Заметим, что эти объекты вычислены в локальной системе координат и, в отличие от разности работ dPj, зависят от ее ориентации. Выполним преобразование dPj путем исключения из матрицы жесткости перемещения внутреннего узла и пересчета данных в глобальной системе координат. Для этого преобразуем вектор-столбец перемещений, заданный в локальной системе координат, к виду:

.

Отметим, что введенный вектор не содержит перемещения узла 4:

. (4.31)

Представим в такой же форме и возможные перемещения узлов конечного элемента:

.

Теперь сформируем матрицу жесткости конечного элемента и узловые нагрузки в виде блоков, соответствующих структуре вектора перемещений . Выпишем эти объекты, не указывая связанный с ними номер конечного элемента:

.

Заметим, что величины являются обычными числами (скаляры). Теперь в выражении работы внутренних сил выделим отдельно слагаемые, обусловленные возможным перемещением узла 4:

.

Так как приращение работы для всей пластины равно нулю, то из независимости второго слагаемого от возможных перемещений и углов поворота других узлов следует:

.

Это уравнение определяет , что позволяет преобразовать работу внутренних сил путем исключения перемещения узла 4:

. (4.32)

Здесь введены обозначения новой матрицы жесткости и вектора-столбца узловых нагрузок, определенных для вектора (5.6):

. (4.33)

Для формирования матрицы жесткости и вектора-столбца узловых нагрузок для всей пластины следует пересчитать объекты (4.33) в глобальной системе координат. Это выполняется с помощью матрицы , приведенной в (4.30). Образуем матрицу девятого порядка из диагональных блоков :

.

Векторы-столбцы перемещений в глобальных и локальных осях связаны соотношением:

.

Подставляя в выражение работ на возможных перемещениях формулу (4.32), получим:

.

Здесь введены обозначения . Дальнейшее формирование матрицы и вектора для всей пластины выполняется стандартным образом.