Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Пример Д1.



На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют сила тяжести и сила сопротивления R; расстояние от точки А, где υ=υ0, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F=F(t), заданная в ньютонах.

Дано: m=2 кг, R=mυ2,где m=0,4 кг/м, υ0=5 м/с, l=2,5 м, Fx=16sin(4t).

Определить: х=f(t)-закон движения груза на участке ВС.

Решение.1.Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р=mg и R. Проводим ось Аz и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

Далее находим Рz=Р=mg, Rz=-R=-mυ2, подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят.Учтя еще, что υz=υ, получим

Введем для сокращения записей обозначения

где при подсчете принято g=10 м/с2. Тогда уравнение (2) можно представить в виде

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим

По начальным условиям при z=0 υ=υ0, что дает С1=ln(υ20-п) и из равенства (5) находим ln(υ2-п) =-2kz+ln20-п) или 1n(υ2-п)-ln 20-n)=-2kz. Отсюда

В результате находим

Полагая в равенстве (6) z=l= 2,5 м и заменяя k и п их значениями (3), определим скорость υB груза в точке В (υо=5 м/с, число е=2,7):

2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС; найденная скорость υВ будет для движения на этом участке начальной скоростью (υ0=υВ). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р=mg,N,Fтр и F. Проведем из точки В оси Вх и By и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:

или

где Fтp=f×N. Для определения N составим уравнение в проекции на ось By. Так как ау=0, получим 0=N-mg×cosa, откуда N=mg×cosa. Следовательно, Fтр=fmg×cosa; кроме того, Fx=16sin(4t) и уравнение (8) примет вид

Разделив обе части равенства на т, вычислим g(sina-f×cosa)=g(sin30°-0,2cos30°)=3,2; и подставим эти значения в (9). Тогда получим

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

υx=3,2t-2cos(4t)+C2

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t=0. Тогда при t=0 υ=υ0B, где υB даётся равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим

C2=υB+2cos0=6,4+2=8,4

При найденном значении С2 уравнение (11) дает

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

x=1,6t2+8,4t+C3

Так как при t=0 х=0, то С3=0 и окончательно искомый закон движения груза будет

x=1,6t2+8,4t+0,5sin(4t)

где х-в метрах, t-в секундах.


 

Задача Д2.

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3с радиусами ступеней R3=0,3 м, r3=0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ3=0,2 м, блока 4радиуса R4=0,2 м и катка (илиподвижного блока) 5 (рис. Д6.0-Д6.9, табл. Д6); тело 5считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4-равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f=0,1.Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3(или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s1=0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы, где обозначено: υ1, υ2, υC5-скорости грузов 1, 2 ицентра масс тела 5 соответственно, ώ3 и ώ4-угловые скорости тел 3и 4.

Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5на рис. 2), катятся по плоскостям без скольжения.

На всех рисунках не изображать груз 2, если т2=0; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.