Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Теорема 2.



1) Якщо f(x) має похідну на інтервалі (a, b) i f(x)¯, то ¦¢(х)£0.

2) Якщо f(x) неперервна на [a, b] і має похідну, причому ¦¢(х)<0,

то f(x) спадає на [a, b].

Y

a

 

 
 

 


a b X

рис.41

Скорочено:

Інтервали, на яких функція тільки зростає або тільки спадає називаються інтервалами монотонності.

Отже, з теорем 1 і 2 випливає, що досліджувати функцію на монотонність (зростання і спадання) можна за допомогою похідної , визначаючи знак останньої на окремих проміжках. Раніше (див. ІІ, 2.2) ми досліджували деякі функції на монотонність, встановлюючи знак нерівності між і при умові, що . Але такі дослідження зручніше робити за допомогою похідної. Розглянемо на прикладах.

Приклади. Знайти проміжки монотонності функції:

1. . 2. .

3. . 4. . 5. .

Розв’язання

1.Функція визначена для . Знаходимо похідну . Похідна точок розриву немає і може змінювати знак при переході через корінь

, .

Наносимо корінь на числову вісь, яка при цьому розіб’ється на два інтервали і

 

( )

 

За допомогою пробних точок визначаємо знак похідної на кожному з інтервалів. Якщо взяти , то - функція спадає.

Якщо , то

- функція зростає.

Отже, для ;

для .

2. -функція визначена для всіх . Її похідна

має корені і , які розбивають числову вісь на три інтервали

 

, ,

 

 

Підставляючи пробні точки у розклад похідної на множники , визначаємо її знак у кожному із інтервалів (див. рис.). У відповідності до знаку похідної на даному інтервалі робимо висновок про поведінку функції:

, функція зростає;

, функція спадає;

, функція зростає.

3. - функція не існує у точках . Знаходимо похідну

.

Корені похідної , та її точки розриву і розбивають числову вісь на 5 інтервалів, визначаємо знак похідної на кожному з них:

, функція спадає;

, функція зростає;

, функція зростає;

, функція спадає;

, функція спадає.

Тут числа - це пробні точки, з відповідних інтегралів, у яких визначався знак похідної.

4.Функція існує для всіх , її похідна

.

Оскільки похідна невід’ємна, то дана функція непарна для всіх .

5.Знайдемо спочатку область існування (визначення) функції ,

. Функція існує на проміжку . Похідна функції має вигляд

;

- корінь похідної, яка до того має таку область існування .

Для , функція зростає;

Для , функція спадає.

 

Відмітимо ще, що за допомогою похідної можна доводити деякі нерівності.

Приклади.Довести нерівності.

6. . 7. .

8. .

9. .

Розв’язання

6.Розглянемо допоміжну функцію . Знайдемо її похідну

, якщо .

Отже, - зростає і , тобто для . Геометрично, якщо побудувати графіки і , то тангенсоїда знаходиться вище бісектриси, в точці вони дотикаються.

7.Знайдемо похідну для допоміжної функції , для . Функція зростає для . У точці , а внаслідок зростання , якщо .

8.Розглянемо допоміжну функцію , , якщо , оскільки (див. приклад 6). Функція - спадна, тобто меншому значенню аргумента відповідає більше значення функції

.

9. .

,

якщо . Функція зростає, в точці . Отже, для , тобто

при .

 

Приклади для самостійного розв’язання.

Визначити проміжки монотонності функцій

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9.

Довести нерівності

10. , якщо .

11. .

12. .

13. .

Відповіді. 1. ; .

2. , якщо , якщо , . 3. , , , . 4. , , і т. д. 5. .

6. . 7. . 8. .

9. .

 

7.2. Максимуми і мінімуми функції

 

Означення 1.Функція y=f(x) має максимум в точці х0, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не перевищують значення в самій точці, тобто

¦(х)£¦(х0).

Означення 2. Функція y=f(x) має мінімум в точці х1, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не менші значення в самій точці, тобто

¦(х)³¦(х1).

f(x2)=ymax

Y f(x0)=ymax

 

f(x3)=ymin

f(x1)=ymin

 

x0 x1 x2 x3 X

рис.42

Максимуми і мінімуми функції називають екстремуми. Функція y=f(x) може мати на даному відрізку декілька максимумів і мінімумів. Екстремуми мають локальний (місцевий) характер, вони описують поведінку функції тільки в околі даної точки.

Всі точки, в яких функція набуває екстремума називається критичними.

Наприклад. На рисунку 42 точки x0,x1,x2,x3 – критичні точки.

Теорема 1. (Необхідна умова екстремума). Якщо функція y=f(x) має екстремум при х=х0, то похідна в цій точці, якщо вона існує, дорівнює нулю, тобто ¦¢(х0)=0.

Наприклад. На рис.1 ¦¢(х0)=¦¢(х1)=¦¢(х2)=0.

Теорема 1 виражає тільки необхідну умову екстремума, але не достатню, див. рис. 43

Y

¦¢(х0)=0 y=f(x)

 
 

 

 


0 x0 X

рис.43

Точки в яких ¦¢(х0)=0 називаються стаціонарними, в них швидкість зміни функції дорівнює нулю.

Із викладеного випливає, що критичні точки функції, тобто точки екстремума, слідує шукати серед стаціонарних точок, де ¦¢(х0)=0, також серед точок, в яких похідна ¦¢(х) не існує. Наприклад в точці х3 (рис.42) функція має мінімум, але графік не є гладким, похідна в точці х3 – не існує.

Теорема 2. (Достатня умова екстремуму). Нехай функція у=¦(х):

1) неперервна при х=х0;

2) має похідну ¦¢(х0) в деякому околі точки х0, за винятком, можливо, самої цієї точки;

3) похідна зберігає знак окремо зліва і справа від х0.

Тоді, якщо при переході через точку х0 (зліва направо)

а) ¦¢(х) змінює знак з “+” на “–”, то при х=х0 маємо максимум;

б) ¦¢(х) змінює знак з “–” на “+”, то при х=х0 маємо мінімум;

в) якщо знак похідної не змінюється, то в точці х0 екстремуму не має.

Теорема 3. (Друга достатня умова екстремуму). Якщо функція у=¦(х) в точці х=х0 має першу і другу похідну, причому ¦¢(х0)=0, а ¦¢¢(х0)¹0, і ¦¢¢(х) неперервна в околі точки х=х0, то в точці х=х0 у=¦(х) має екстремум, причому це буде максимум, якщо ¦¢¢(х0)<0, і мінімум, якщо ¦¢¢(х0)>0.

Див., напр., рис. 44

 

Y

 

 

x0 x1 X

рис.44

Скорочено маємо:

Можуть зустрічатись випадки, коли ¦¢(х0)=0 і ¦¢¢(х0)=0, тоді користуються більш загальним твердженням.

Теорема 4. Якщо функція у=¦(х) має в околі точки х=х0 неперервні похідні до n-го порядку (n>1) включно і якщо

в той час як f(n)(x0)¹0, то при n парному функція має максимум, якщо f(n)(x0)<0, i мінімум, якщо f(n)(x0)>0; якщо n –непарне, то функція екстремумав точці х=х0 не має.