Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Решение



1. Построим область допустимых решений (ОДР) в плоскости xOy, определяемую системой неравенств. Каждое линейное неравенство на плоскости задает полуплоскость, все точки которой обращают неравенство в верное числовое неравенство.

Рассмотрим первое неравенство 4yx ≤ 20.

Границей полуплоскости является прямая 4yx = 20. Построим эту прямую по двум точкам. Составим таблицу и выполним построение[1] (рис. 1):

x
y
  A1 A2

 

Рис. 1 Рис. 2

 

Определим, какую полуплоскость задает первое неравенство: выше построенной прямой или ниже ее. Для этого подставим в неравенство координаты любой точки, не лежащей на построенной прямой. Обычно берут начало координат: (0; 0):

.

Получили верное числовое неравенство, значит рассматриваемое линейное неравенство определяет полуплоскость, которой принадлежит начало координат, т.е. расположенную ниже построенной прямой (рис. 1).

Аналогично определим полуплоскости, задаваемые вторым и третьим неравенствами: 4x + y ≤ 22 и х – у ≤ 3 (рис. 2).

2) x   3) x
  y     y -2
    B1 A2       B1 C1

Оставшиеся ограничения: х ≥ 0, у ≥ 0 задают первую координатную четверть. Область допустимых решений изображена на рисунке 3 – многоугольник OABCD.

Рис. 3 Рис. 4

 

2. Построим в критериальной плоскости область, соответствующую области допустимых решений OABCD. Для этого необходимо найти координаты вершин.

В нашем случае очевидно, что O(0; 0), A(0; 5), B(4; 6), C(5; 2), D(3; 0), т.к. часть этих точек использовалась при построении прямых. В общем случае координаты точки пересечения двух прямых определяют совместным решением их уравнений, например, для точки С = B1, которая является точкой пересечения (2) и (3) прямых (рис. 2):

 

Найдем координаты образов точек O, A, B, C, D в линейном преобразовании, определяемом целевыми функциями:

O(0; 0):

Таким образом, O(0; 0) → O¢(0; 0).

 

A(0; 5):

Таким образом, A(0; 5) → A¢(–10; –5).

 

B(4; 6):

Таким образом, B(4; 6) → B¢(–4; –14).

 

C(5; 2):

Таким образом, C(5; 2) → C¢(6; –12).

 

D(3; 0):

Таким образом, D(3; 0) → D¢(6; –6).

По найденным координатам точек построим в критериальной плоскости UOV образ многоугольника OABCD – многоугольник O¢A¢B¢C¢D¢ (рис. 4).

 

3. В критериальной плоскости найдем границу Парето – северо-восточную границу области O¢A¢B¢C¢D¢.

Рис. 5 Рис. 6
Рис. 7 Рис. 8

 

Точкой утопии, в которой достигается максимум одновременно по двум критериям U и V, является точка P (рис. 6): через самую высокую (северную) точку области O¢A¢B¢C¢D¢ провели горизонтальную прямую (через точку O¢) и через самую правую (восточную) точку области O¢A¢B¢C¢D¢ провели вертикальную прямую (через точки C¢ и D¢); точка – точка пересечения горизонтальной и вертикальной прямой.

 

4. На границе Парето найдем идеальную точку – точку, наиболее близко расположенную к точке утопии. В нашем случае это основание перпендикуляра, опущенного из точки утопии Р на отрезок O¢D¢ – точка M¢ (рис. 7).

Найдем координаты точки M¢. Для этого найдем уравнение прямой O¢D¢. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

O¢(0; 0), D¢(6; –6)

Найдем уравнение перпендикуляра, опущенного из точки утопии P на отрезок O¢D¢. Воспользуемся уравнением прямой с точкой и вектором нормали:

,

Координаты точки М¢:

Т.е.: М¢(3; –3), а значит компромиссное решение позволит достигнуть значений целевых функций: U = 3, V = –3.

«»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»

Пример вывода уравнения прямой, которая перпендикулярна заданной и проходит через заданную точку

3x-y+6=0
Q=(-2,1)

Решение:
y=3x+6
k=-1/3
y=-1/3x+b
1=(-2)*(-1/3)+b
1=2/3+b
b=1/3
то есть в итоге получаем y=-1/3x+1/3

5. Найдем координаты точки в плоскости xOy, которой соответствует точка М¢ критериальной плоскости. Для этого решим систему уравнений:

Получили, что компромиссным решением метода идеальной точки является M(1,5; 0), в которой критерии достигают значений U = 3, V = –3.

Эта точка принадлежит отрезку OD (рис. 8).

Ответ: M(1,5; 0), U = 3, V = –3.

 

 


[1] Все чертежи подготовлены в программе GeoGebra