Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Функции

18.Функции. Область определения, четность, монотонность. Элементарные функции и их графики. Теория: [1, стр. 21-26, 139-146], [2, стр. 32-56], [3, стр. 105-109, 138-158], [4, стр. 93-114], [5, стр. 58-60], [7, стр. 19-30], [8, стр. 19-31], [11, стр. 69-72], [17, стр. 105-107, 111-113, 123-124, 129-130, 133-134], [21, стр. 266-270]. Решённые примеры: [4, стр. 98-100],[17, стр. 107, 113-114, 124-126, 130-136], [18, стр. 4-25], [20, стр. 11-16, 22-25, 34-39, 44-48, 49-53, 54-59]. Задачи: [14, зад. 151-202, 214-223, 231-236, 237-327, 359-368, 388-396], [15, зад. 1-29, 40-64, 76-84, 113-114, 124-126, 129-133, 138-139, 143-144, 157, 163-166], [17, зад. 7.1-7.21, 7.30-7.44, 7.50-7.55, 7.64-7.69, 7.70-7.72, 7.74-7.84, 7.87-7.98, 7.100-7.104, 7.117-7.137, 7.156-7.165, 7.174-7.182, 7.184-7.189, 7.213-7.265, 7.280-7.283], [18, стр. 34-36, 44-45], [19, зад. 26-228], [20, зад. 44.1-47.1, 50.1-79.1, 103.1-132.1, 179.1-210.1, 212.1-233.1, 247.1-302.1], [25, стр. 36-44].

Пусть каждому из числового множества по некоторому правилу поставлено в соответствие число . Тогда говорят, что на множестве определена функция, и пишут , . Множество значений аргумента (область определения) и множество значений функции обозначают соответственно и .

Функции и называют равными, если и равенство верно для всех .

Пусть заданы функции и и пусть . Функцию , , называют сложной функцией или композицией (суперпозицией) функций и .

19.Определения предела функции. Теория: [1, стр. 146-155], [2, стр. 98-103, 106-108, 161-165], [3, стр. 109-112], [4, стр. 115-119], [ [5, стр. 60-63], [7, стр. 33-34], [8, стр. 107-111], [11, стр. 73-76], [17, стр. 232-233, 234-235], [21, стр. 272-273]. Решённые примеры: [4, стр. 120-122, 125-128], [17, стр. 233-234], [20, стр. 79-81]. Задачи: [14, зад. 401-402, 404, 405(а-в), 406, 408-470], [15, зад. 190-195, 268-313], [17, зад. 9.1-9.19], [19, зад. 277-287], [20, зад. 374.1-383.1], [25, стр. 44-45].

Пусть .

Опр. (Гейне). Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , , , сходящейся к последовательность сходится к .

Опр. (Коши). Число называется пределом функции в точке , если для каждого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Если число является пределом функции в точке , то пишут или при .

 

20. Непрерывность функции в точке. Теория: [1, стр. 155-159, 177-181], [2, стр. 103-104], [3, стр. 127-131], [4, стр. 146-148], [5, стр. 66-67], [7, стр. 53-55], [8, стр. 31-35], [11, стр. 87-88], [17, стр. 263], [21, стр. 283-284]. Решённые примеры: [17, стр. 264-265], [20, стр. 96-97]. Задачи: [14, зад. 662, 666-674], [17, зад. 10.1-10.17, 10.53-10.55, 10.65-10.67, 10.78], [19, зад. 395-399], [20, зад. 485.1-504.1], [25, стр. 45-47].

Функцию , определенную в окрестности точки , называют непрерывной в точке , если .

Функция , определенная в окрестности точки , непрерывна в этой точке, если для каждого существует такое , что для любого , удовлетворяющего условию , верно неравенство .

 

21.Свойства пределов функции. Теория: [1, стр. 169-174], [2, стр. 110-113], [3, стр. 131], [4, стр. 129-130], [5, стр. 63-64], [7, стр. 42-44], [8, стр. 111-113], [11, стр. 78-79], [21, стр. 277-281]. Решённые примеры: [4, стр. 130-133, 166-167], [17, стр. 236-239], [18, стр. 48-67], [20, стр. 82-84]. Задачи: [17, зад. 9.20-9.28], [18, стр. 79], [19, зад. 288-303], [20, зад. 384.1-420.1], [25, стр. 45-50].

Если функции и имеют пределы в точке , то функции ; ; , , также имеют пределы в точке , причем ; ; .

 

22.Критерий Коши существования предела функции. Теория: [2, стр. 121-122], [3, стр. 115-118], [4, стр. 134-135], [8, стр. 113-116].

Для того чтобы функция имела в точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа нашлось число такое, что для любых двух значений и , удовлетворяющих условиям , выполнялось неравенство .

 

23.Предел и непрерывность сложной функции. Теория: [1, стр. 25-26, 189-192], [2, стр. 122-123], [3, стр. 132], [4, стр. 156-157], [5, стр. 70], [8, стр. 116-122], [11, стр. 72-73, 100-101], [17, стр. 271], [21, стр. 284-285]. Решённые примеры: [17, стр. 221-222], [20, стр. 26-28], [20, стр. 97], [21, стр. 268-269]. Задачи: [14, зад. 203-213.1, 328-339-357, 744-750], [15, зад. 30-37], [17, зад. 7.22-7.27, 10.24-10.25, 10.68-10.69], [20, зад. 157.1-166.1].

Пусть существуют ( при ) и . Тогда в точке существует предел композиции , причем .

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то в некоторой окрестности точки определена композиция и она непрерывна в точке .

 

24.Односторонние пределы и односторонняя непрерывность. Теория: [1, стр. 166-169], [2, стр. 108-110], [3, стр. 112-115], [4, стр. 150-151], [5, стр. 64-66], [7, стр. 35-36], [8, стр. 122-127], [11, стр. 76-78], [17, стр. 243-244], [21, стр. 273-274]. Решённые примеры: [17, стр. 244-245, 251-252], [20, стр. 87-88]. Задачи: [14, зад. 403, 405(г-и), 407], [15, зад. 221-224], [17, зад. 9.39-9.41], [19, зад. 321-334], [20, зад. 475.1].

Число называется пределом слева функции в точке , если для каждого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство . Его обозначают или .

Аналогично определяется предел справа, обозначаемый или .

Функцию , определенную на промежутке ( ), называют непрерывной слева (справа) в точке , если ( ).

 

25.Классификация точек разрыва. Теория: [1, стр. 181-182], [2, стр. 118-119], [3, стр. 162-166], [4, стр. 150-151], [5, стр. 67-68], [7, стр. 55-56], [11, стр. 91], [17, стр. 268], [21, стр. 285-286]. Решённые примеры: [4, стр. 151-154], [17, стр. 268-269], [20, стр. 98-101]. Задачи: [14, зад. 675-719, 729-731, 734-743], [15, зад. 225-239], [17, зад. 10.18-10.23, 10.56-10.63], [19, зад. 400-426], [20, зад. 505.1-518.1].

Точку называют точкой разрыва функции в следующих случаях:

1) функция не определена в этой точке;

2) функция определена в этой точке, но

а) не существует ,

б) существует , но .

Если существует , но или не определена в точке , или , то называют точкой устранимого разрыва.

Если в точке разрыва существуют односторонние пределы и , то называют точкой разрыва 1-го рода, а разность ­– – скачком функции в точке .

Если в точке разрыва не существуют хотя бы один из односторонних пределов и , то называют точкой разрыва 2-го рода.

 

26.Бесконечно малые функции. Сравнение функций в окрестности точки. Эквивалентные функции. Теория: [1, стр. 174-177, 219-232], [2, стр. 113-114, 144-147], [3, стр. 119-121], [4, стр. 136-141], [5, стр. 85-87], [7, стр. 39-42, 59-61], [8, стр. 142-146], [11, стр. 82-87], [17, стр. 236, 245-249], [21, стр. 274-276, 298-301]. Решённые примеры: [4, стр. 138-140], [17, стр. 246-251], [20, стр. 87]. Задачи: [17, зад. 9.44-9.57], [18, стр. 77-79], [19, зад. 381-394], [20, зад. 471.1-472.1], [25, стр. 50-54].

Функция называется бесконечно малой при , если .

Сумма, разность и произведение бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Произведение бесконечно малой и ограниченной функций есть бесконечно малая функция.

Функция называется бесконечно малой относительно функции при , если . В этом случае пишут , .

Функция называется эквивалентной функции при , если . В этом случае пишут , .

Если , то существует такая постоянная , что для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство . В этом случае пишут , .

 

27.Первый замечательный предел. Теория: [1, стр. 215-216], [2, стр. 140-142], [3, стр. 158-159], [4, стр. 122-124], [5, стр. 83], [7, стр. 46-47], [8, стр. 141-142], [11, стр. 79-80], [17, стр. 239], [21, стр. 281-283]. Решённые примеры: [17, стр. 240], [20, стр. 84-87]. Задачи: [14, зад. 471-505], [15, зад. 314-350], [17, зад. 9.29-9.32], [18, стр. 80-83], [19, зад. 304-320], [20, зад. 421.1-441.1].

 

28.Второй замечательный предел. Теория: [1, стр. 216-219], [2, стр. 142-144], [3, стр. 159-162], [4, стр. 124-128], [5, стр. 83-85], [7, стр. 49-51], [11, стр. 81-82], [17, стр. 239]. Решённые примеры: [17, стр. 241-243], [20, стр. 85-86]. Задачи: [14, зад. 506-563, 611-612], [15, зад. 351-378], [17, зад. 9.33-9.38], [19, зад. 358-369], [20, зад. 442.1-466.1].

 

29.Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса. Теория: [1, стр. 192-194], [2, стр. 125-126], [3, стр. 167-169, 172-176], [4, стр. 174-178], [5, стр. 71-73], [7, стр. 36-39, 57-58], [8, стр. 127-129], [11, стр. 94-97], [17, стр. 118-119, 120-121, 272], [21, стр. 286-287]. Решённые примеры: [17, стр. 119-120, 273], [20, стр. 39-40, 108-109]. Задачи: [17, зад. 7.56-7.63, 7.99, 7.166-7.174, 7.190-7.212, 7.279, 10.70-10.77], [20, зад. 211.1].

Теоремы Вейершрасса: Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда эта функция

1) ограничена на ;

2) достигает на своих верхней и нижней граней, т.е. существуют такие, что , .

 

30.Промежуточные значения непрерывной функции. Теорема Больцано-Коши. Теория: [1, стр. 194-196], [2, стр. 126-127], [3, стр. 170-171], [4, стр. 168-172], [5, стр. 70-71], [7, стр. 56-58], [8, стр. 129-131], [11, стр. 92-94], [21, стр. 286-287]. Решённые примеры: [20, стр. 106-107]. Задачи: [17, зад. 10.78-10.81].

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда для любого числа , заключённого между и , найдётся точка такая, что .

 

31.Обратные функции. Непрерывность обратной функции. Теория: [1, стр. 23-26, 197-203], [2, стр. 127-130], [3, стр. 133-138], [4, стр. 172-174], [8, стр. 131-134], [11, стр. 101-104], [17, стр. 116-117, 272], [21, стр. 268]. Решённые примеры: [17, стр. 117-118, 126-127], [20, стр. 33-31, 107-108]. Задачи: [14, зад. 224-230, 759-772], [15, зад. 117-123], [17, зад. 7.45-7.49, 7.138-7.154, 7.183, 10.33-10.36, 10.82-10.85], [20, зад. 170.1-178.1].

Пусть функция определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке . Тогда она имеет обратную функцию, которая определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке (соответственно ).

 

32.Непрерывность элементарных функций. Теория: [1, стр. 203-214], [2, стр. 131-140], [3, стр. 138-158], [4, стр. 148-150, 155-156], [5, стр. 77-83], [8, стр. 135-140], [11, стр. 88-91], [17, стр. 273].

Все основные элементарные функции: постоянная, показательная, логарифмическая, степенная, тригонометрические, обратные тригонометрические непрерывны на своих областях определения.