Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Реляційна семантика інтуїціоністської логіки



На відміну від класичної логіки, яка є логікою конкретного знання, інтуїціоністська логіка передбачає накопичення знань. На цій ідеї Брауера базуються найпопулярніші семантичні моделі інтуїціоністської логіки – моделі можливих світів, або реляційні моделі.

Моделі можливих світів були започатковані Л. Брауером і А. Гейтінгом, далі розвинуті С. Кріпке та Я. Хінтіккою. Вони успішно використовуються також для описання семантики модальних логік.

Про інші підходи до семантики інтуїціоністської логіки див. [33, 52].

Моделлю можливих світів інтуїціоністської логіки, або реляційною інтуїціоністською моделлю назвемо трійку М = (S, >, I).

Тут S – множина світів, >– бінарне відношення на S, I – відображення інтерпретації. Відношення >євідношенням часткового порядку на S.

Уточнимо відображення інтерпретації для випадку інтуїціоністської ПЛ:

I : Ps´S®{T, F}.

Світи узгоджуються з відношенням >таким чином.

Якщо a >b та I(A, a) = T, то I(A, b) = T. Це означає, що при підйомі по світах істинність атомарних формул не може перейти у фальш.

Bідображення інтерпретації I : Ps´S®{T, F} індуктивно продовжимо до відображення J : Fp´S®{T, F}:

1) J(A, a) = I(A, a) для всіх АÎPs;

2) J(FÚY, a) = T Û J(F, a) = T або J(F, a) = T;

3) J(F&Y, a) = T Û J(F, a) = T та J(F, a) = T;

4) J(ØF, a) = T Û для всіх b таких, що a >b, маємо J(F, b) = F;

5) J(F®Y, a ) = T Û для всіх b таких, що a >b, маємо: якщо J(F, b) = T, то J(Y, b) = T.

Те, що J(F, a) = T, тобто істинність формули F у світі a, позначаємо a |=F.

Формула F істинна в реляційній моделі М, що позначаємо М |=F, якщо для всіх aÎS маємо a |=F.

Формула F інтуїціоністськи істинна, що позначаємо I |=F, якщо для кожної реляційної моделі М маємо М |=F.

Для випадку інтуїціоністської логіки предикатів світами є алгебраїчні системи заданої сигнатури s, яка визначає мову такої логіки.

Задамо відображення інтерпретації атомарних формул на світах:

I : ´ S®Pra).

Світи узгоджуються з відношенням >таким чином.

– Нехай a= (A, s), b= (B, s) та a >b. Тоді AÍB.

– Нехай pÎPs. Якщо a >b та pa(a1,..., an) = T, то pb(a1,..., an) = T.

Отже, при підйомі по світах їх носії можуть тільки розширюватися, при цьому істинність атомарних формул не може перейти у фальш.

Значення формули у світі a визначаємо індуктивно:

1) для атомарних формул pa(d) = T означає I(p, a)(d) = T;

2) (FÚY)a(d) = T Û Fa(d) = T або Ya(d) = T;

3) (F&Y)a(d) = T Û Fa(d) = T та Ya(d) = T;

4) (ØF)a(d) = T Û для всіх b таких, що a >b, маємо Fb(d) = F;

5) (F®Y)a(d) = T Û для всіх b таких, що a >b, маємо: якщо Fb(d) = T, то Yb(d) = T;

6) ($xF)a(d) = T Û для деякого aÎA маємо Fa(dÑxaa) = T;

7) ("xF)a(d) = T Û для всіх b таких, що a >b, для всіх aÎB маємо Fb(dÑxaa) = T.

Істинність формули F у світі a позначаємо a |=F.

Формула F істинна в реляційній моделі М, що позначаємо М |=F, якщо для всіх aÎS маємо a |=F.

Формула F мови сигнатури s інтуїціоністськи істинна, що позначаємо I |=F, якщо для кожної реляційної моделі М зі світами сигнатури s маємо М |=F.

Приклад 18.1.1. Покажемо, що формула AÚØA не є інтуїціоністськи істинною. Для цього вкажемо для неї контрмодель – реляційну модель М таку, що М |¹ AÚØA.

b g

 

A

Задамо I(A, a) = F, I(A, b) = T, I(A, g) = F. Зрозуміло, що невірно a |=A. Для a |=ØA необхідно a |¹ A, g |¹ A, b |¹ A. Однак I(A, b) = T, тому b|=A. Отже, невірно a |=ØA, звідки a |¹ AÚØA, тому М |¹ AÚØA.

Приклад 18.1.2. Покажемо, що формула (A®B)Ú(B®A) не є інтуїціоністськи істинною. Для цього вкажемо для неї контрмодель М таку, що М |¹ (A®B)Ú(B®A).

 

b g

 

A

Задамо I(A, a) = F, I(B, a) = F, I(A, b) = T, I(B, b) = F, I(A, g) = F, I(B, g) = T. Тоді b|=A та b|¹B, звідки, ураховуючи a >b, невірно a|=A®B. Однак g|=B та g|¹A, тому, ураховуючи a >g, невірно a|=B®A.

Отже, невірно a|=(A®B)Ú(B®A), тому М |¹ (A®B)Ú(B®A).

Приклад 18.1.3. Укажемо модель М таку, що М |=Ø"x(P(x)Ú ØP(x)).

a2A2 = {0, 1, 2}


a1A1 = {0, 1}

 

a0A0 = 0}

Для кожного світу anйого носій – це An = {0, 1,…, n}.

Задамо (k) = T для всіх k < n та (n) = F.

Маємо (0) = F; але Ø (0) = T означає, що (0) = F для всіх n, що невірно, тому Ø (0) = F. Отже, (0) = F.

Маємо (1) = F; але Ø (1) = T означає, що (1) = F для всіх n ³1, що невірно, тому Ø (1) = F. Отже, (1) = F.

Продовжуючи, отримуємо (2) = F і т. д.

Отже, для кожного an (n) = F, тому для кожного an = F. Звідси an |= Ø"x(P(x)Ú ØP(x)) для кожного an, тому М |= Ø"x(P(x)Ú ØP(x)).

Зауважимо, що в класичній логіці |= "x(A(x)Ú ØA(x)). Отже, в інтуїціоністській логіці є формули, які суперечать формулам класичної.