Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Непряме (апагогічне) доведення



Непряме доведення у формі кратної імплікації постає як числення, інтенційно спрямоване на виведення з антецедентів формули, яка суперечить консеквенту доводжуваної формули.

Щоб здійснити непряме доведення, треба запам’ятати його алгоритм чи припис:

1. одну із формул А1, А2,... Аn записуємо в якості припущення;

1.а) записуємо припущення непрямого доведення, тобто формулу, яка суперечить консеквентну (~С);

2. записуємо формули, що випливають із припущень і раніше доведених формул за одним із правил слідування;

3. з’ясовуємо або виявляємо суперечність у наслідках.

 

Завдання.Здійсніть непряме доведення формули, що виражає таку структуру міркування:

((p ® q) (a1) /\ ~q (a2)) ® ~pТ.

Відповідь.Непряме доведення формули, що подано в завданні, постає таким чином:

((p ® q) /\ ~q ) ® ~p

1. (p ® q) /\ ~q – припущення;

2. p – припущення непрямого доведення;

3. p ® q УК (1)

4. q МР (2,3)

5. ~q УК (1).

Суперечність (4,5) (q /\ ~q).

Отже, виявлена суперечність дає підстави твердити, що ~p (Т) є вивідною формулою із формул-засновків (p ® q) та (~q).

Ви переконалися в тому, що непряме доведення завершується виявленням суперечностей. Це означає, що ввівши в доведення припущення непрямого доведення (p) до тези (~p) і застосувавши правила вивідності наслідків із припущень, ми отримали суперечні формули q і ~q. Поява суперечності дає підстави вважати, що формула ~p, яка репрезентує тезу в структурі вихідної формули, з необхідністю випливає із аргументів a1(p ® q) та a2 (~q).

У випадку, якщо головним знаком формули, що репрезентує зв’язок елементів доведення, не є знак кон’юнкції чи еквіваленції, то у ролі єдиної гіпотези (аргумента) можна взяти для аналізу заперечення цієї формули. Такі доведення не лише уможливлюють широкий спектр застосування правил слідування, а й сприяють актуалізації потенцій творчої інтуїції.

 

Завдання.Обґрунтуйте вивідність тези з аргументів методом „від супротивного”: ╞ (p ® q) ® (~q ® ~p) за схемою однократної імплікації (А1 ® С).

Відповідь.

1. ~((p ® q) ® (~q ® ~p)) – припущення непрямого доведення.

2. (p ® q) /\ ~(~q ® ~p) – ЗІ (1)

3. p ® q – УК(2)

4. ~(~q ® ~p) – УК(2)

5. ~q /\ ~~p – ЗІ(4)

6. ~q – УК(5)

7. ~~p – УК (5)

8. ~p – МТ(3,6)

9. ~p /\ ~~p – ВК(7,8)

Таким чином, із ~((p ® q) ® (~q ® ~p))╞ ~p /\ ~~p за ВІ (1,9).

Отже, ╞ (p ® q) ® (~q ® ~p) з за ДВС (доведенням від супротивного).

Довівши, що дана формула є вивідною („╞”), ми водночас обґрунтували вивідність маркованої нами тези (~q ® ~p) з одного єдиного аргумента (p ® q) у контексті структури однократної імплікації А1 ® С, де А1 – аргумент-гіпотеза, а С – теза-консеквент. У даному доведенні „від супротивного” ми застосували наступні правила слідування: ЗІ (заперечення імплікації) – двічі (в 2-му і 5-му рядках); УК (усунення кон’юнкції) – 4 рази (рядки 3,4,6,7); ВК (введення кон’юнкції) – 1 раз в 9 рядку; МТ (modus tollens або усунення імплікації) у 8-му рядку.

У якості розв’язкової процедури можна використовувати редукцію або зведення формул, що репрезентують доведення чи спростування до нормальних форм, до кон’юнктивної чи диз’юнктивної нормальних форм, а також до досконалих чи скорочених кон’юнктивних чи диз’юнктивних нормальних форм, як логічних засобів для з’ясування й оцінки класу формул шляхом еквівалентних перетворень і, в такий спосіб, розв’язувати проблему вивідності чи невивідності тези з аргументів, виявляти усі можливі тези-наслідки, або тільки прості, а також здійснювати пошук усіх аргументів-гіпотез або тільки простих і т. ін. Якщо, наприклад, отримана в результаті перетворень та чи інша формула виявиться тотожно істинною, то репрезентоване вихідною формулою доведення (спростування) є коректним, якщо ж з’ясується, що отримана формула є тотожно хибною (суперечністю), то репрезентоване формулою доведення (спростування) є некоректним. У такому випадку або корелюється логічний зв’язок між формулами, що виражають тезу чи аргументи, або доведення (спростування) відкидаються як неможливі.