Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Відповідь.



~p \/ ~q /\ ~r – теза

~p /\ (q /\ ~q) /\ ~q /\ (p \/ ~p) \/ r /\ (p \/ ~p) =

= (~p /\ q) \/ (~p /\ ~q) /\ (~q /\ p) /\ (~q /\ ~p) /\ (r /\ p) /\ (r /\ ~p) =

= (~p /\ q /\ (r /\ ~r)) /\ (~p /\ ~q /\ (r /\ ~r)) /\ (~q /\ p /\ (r /\ ~r)) /\ (r /\ p /\ (q /\ ~q)) /\ (r /\ ~p) /\ (q /\ ~q)) = (~p /\ q /\ r) /\ (~p /\ q /\ ~r) /\ (~p /\ ~q /\ r) /\ (~p /\ ~q /\ ~r) /\ (p /\ ~q /\ ~r) /\ (p /\ ~q /\ ~r) /\ (p /\ q /\ r) /\ (p /\ ~q /\ r) /\ (~p /\ q /\ r) /\ (~p /\ ~q /\ r) (ДДНФ)

Отримана як результат перетворення формула є ДДНФ:

= (~p /\ q /\ r) \/ (~p /\ q /\ ~r) /\ (~p /\ ~q /\ r) /\ (~p /\ ~q /\ ~r) /\ (p /\ ~q /\ ~r) \/ (p /\ ~q /\ ~r) /\ (p /\ q /\ r).

Вона є множиною усіх можливих засновків-аргументів, з яких випливає теза (~p /\ ~q /\ ~r).

Пошук простих наслідків (тез) із засновків (аргументів) здійснюється за допомогою скороченої кон’юнктивної нормальної формипевної формули, що репрезентує доведення як форму і спосіб міркування.

Щоб виявити усі прості наслідки (тези) із засновків (аргументів), треба звести КНФ до скороченої кон’юнктивної нормальної форми (СКНФ) даної формули. Задля цього мусимо виконати наступний припис цієї розв’язкової процедури, а саме:

· звести формулу до КНФ;

· з усіх однакових кон’юнктивних членів залишити лише один, а в елементарних диз’юнкціях викреслити усі їх повторення (напр.: (p \/ q) і (q \/ p) – один з них викреслюємо;

· усунути з КНФ усі тотожно істинні (p \/ ~p) кон’юнктивні члени;

· якщо серед кон’юнктивних членів є два такі, один з яких містить якусь змінну, а другий – її заперечення, то послуговуючись законом виявлення, тобто рівносильністю (21), додати новий кон’юнктивний член: (21) (А \/ С) /\\/ ~С) = (А \/ С) /\\/ ~С) /\\/ В); крім рівносильності (21), в разі потреби, треба використати рівносильності:

· (21а) С /\\/ ~С) = С /\\/ ~С) /\ В або

· (21б) ((А \/ С) /\ ~С) = (А \/ С) /\/\ А, які є окремими випадками рівносильності (21). Якщо, напр., в КНФ є кон’юнктивний член q і (p \/ ~q), то приписуємо новий кон’юнктивний член p: q /\ (p \/ ~q) /\ p, а якщо є кон’юнктивний член (p /\ q /\ r) /\ ~r, то приписуємо новий кон’юнктивний член (p \/ q): (p /\ q /\ r) /\ ~r /\ (p \/ q);

· якщо введені (дописані) кон’юнктивні члени можна переставити (за рівносильностями (2) і (4) так, щоб можна було застосувати закон поглинання (рівносильність (19)),то застосовуючи правило заміни за цією рівносильністю, викреслюємо (усуваємо) усі поглинаючі кон’юнктивні члени (рівносильність (19): А /\\/ В) = А; А \//\ В) = А.

Отже, застосовуючи вищеозначений припис, ви зможете отримати усі прості наслідки із гіпотез-аргументів.

 

Завдання.Знайдіть усі можливі прості наслідки із таких аргументів-гіпотез:

p®~q; ~p®r; ~(q /\ r).

Відповідь.Для того, щоб отримати усі можливі наслідки із даних аргументів (гіпотез), треба спершу з’єднати аргументи кон’юнкцією:

(p®~q) /\ (~p®r) /\ ~(q /\ r).

Утворену формулу зводимо до нормальної форми, а відтак до КНФ:

(~p \/ ~q)1 /\ (p \/ r) 2 /\ (~q \/ ~r) 3 (13;13;1;10). НФ

З огляду формули, ми переконуємось, що НФ збігається з КНФ.

Здійснюємо усі виявлення: від першого і другого кон’юнктивного члена (~p \/ ~q)1 і (p \/ r)2 отримуємо новий кон’юнктивний член (~q \/ r)4 за (21) рівносильністю, який приписуємо через кон’юнкцію до КНФ:

(~p \/ ~q)1 /\ (p \/ r) 2 /\ (~q \/ ~r) 3 /\ (~q \/ r) 4.

Від другого кон’юнктивного члена (p \/ r) 2 і третього кон’юнктивного члена (~q \/ ~r) 3 отримуємо новий кон’юнктивний член (p \/ ~q) 5, який приєднуємо до КНФ:

(~p \/ ~q)1 /\ (p \/ r) 2 /\ (~q \/ ~r) 3 /\ (~q \/ r) 4 /\ (p \/ ~q) 5.

Від третього кон’юнктивного члена (~q \/ ~r) 3 і четвертого – (~q \/ r) 4 утворюємо новий кон’юнктивний член (~q \/ ~q) 6, який приєднуємо кон’юнкцією до КНФ:

(~p \/ ~q)1 /\ (p \/ r) 2 /\ (~q \/ ~r) 3 /\ (~q \/ r) 4 /\ (p \/ ~q) 5 /\ (~q \/ ~q) 6.

В шостому кон’юнктивному членові маємо повторення диз’юнктів ~q і ~q. Один з них викреслюємо. Тоді форма набере вигляду:

(~p \/ ~q)1 /\ (p \/ r) 2 /\ (~q \/ ~r) 3 /\ (~q \/ r) 4 /\ (p \/ ~q) 5 /\ ~q6.

Після виявлення здійснюємо поглинання за рівносильністю (19):

1) (~p \/ ~q) 1 /\ ~q6 = ~q

2) (~q \/ ~r) 3 /\ ~q6 = ~q

3) (~q \/ r) 4 /\ ~q6 = ~q

4) (p \/ ~q) 5 /\ ~q6 = ~q

Поглинаючі кон’юнктивні члени викреслюємо:

(~p \/ ~q) /\ (p \/ r) /\ (~q \/ ~r) /\ (~q \/ r) /\ (p \/ ~q) /\ ~q

Отримана після поглинання формула (p \/ r) /\ ~q є СКНФ вихідної формули, утвореної шляхом з’єднання аргументів кон’юнкцією, а її підформули (p \/ r) та ~q є простими наслідками (тезами) із гіпотез-аргументів (а1) (p®~q); (а2) ~p®r; (а3) ~(q /\ r). Якщо аргументи істинні, то теза (p \/ r) є істинною, а теза (~q) є хибною. Отже, якщо гіпотези-засновки p®~q, ~p®r і ~(q /\ r) є істинними, то й (теза) наслідок є істинним, а теза (наслідок) ~q є хибною.

Зауважимо, що зводячи формулу до СКНФ, вигідно чергувати закони виявлення і поглинання. Формула, що отримана в результаті застосування припису, має скорочену кон’юнктивну нормальну форму і кожний її кон’юнкт є простим наслідком-тезою формули, що виражає гіпотези як аргументи.

 

Завдання.Обґрунтуйте або доведіть тезу „Тільки хтось із трьох підозрюваних (К., М., Я.) фальсифікував результати голосування. Результати розслідування парламентської комісії наступні:

„К. твердить, що фальсифікацією займався М.”

„М. твердить, що фальсифікацією займався К.”

„Я. твердить, що фальсифікацією не займався”.

Одне із тверджень є істинним.

Зразок відповіді.Спершу кожне показання-твердження символізуємо змінними логіки висловлень. Нехай висловлення „Фальсифікацією займався К.” відповідає змінна „p”, висловленню „Фальсифікацією займався М.” – змінна „q”, висловленню „Фальсифікацією займався Я.” – змінна „r”.

Той факт, що фальсифікацією міг займатися один із трьох, записуємо у вигляді формули, що виражає умову про те, що жодні два висловлення з трьох не можуть бути одночасно істинними:

(1) ~(p /\ q) /\ ~(p /\ r) /\ ~(q /\ r).

Далі записуємо відповідне показання кожного з трьох мовою символів (q, p, ~r). Оскільки істинним є одне із трьох тверджень, то жодні два твердження не можуть бути одночасно істинними. Цю умову записуємо так: (2) ~(q /\ p) /\ ~(q /\ ~r) /\ ~(p /\ r). Далі обидві умови (1) і (2) з’єднуємо кон’юнкцією і зводимо утворену формулу спершу до КНФ (кон’юнктивної нормальної форми), а відтак – до скороченої кон’юнктивної нормальної форми (СКНФ).

~(p /\ q) /\ ~(p /\ r) /\ ~(q /\ r) /\ ~(q /\ p) /\ ~(q /\ ~r) /\ ~(p /\ r) = (~p \/ ~q) /\ (~p \/ ~r) /\ (~q \/ ~r) /\ (~q \/ ~p) /\ (~q \/ r) /\ (~p \/ r) (НФ)

В отриманій НФ викреслюємо повторення. Отримана формула набирає вигляду КНФ:

(~p \/ ~q) /\ (~p \/ ~r) /\ (~q \/ ~r) /\ (~q \/ r) /\ (~p \/ r)

Застосовуючи до КНФ закони виявлення, отримуємо формулу, в якій усуваємо повторення:

(~p \/ ~q) /\ (~p \/ ~r) /\ (~q \/ ~r) /\ (~q \/ r) /\ (~p \/ r) /\ (~p \/ ~q) /\ (~q \/ ~q) /\ (~p \/ ~p) \/ r

Після вищеозначеної процедури здійснимо поглинання:

(~p \/ ~q) /\ (~p \/ ~r) /\ (~q \/ ~r) /\ (~q \/ r) /\ (~p \/ r) /\ ~q /\ p /\ r

В результаті поглинання ми отримали СКНФ формули, що об’єднувала дві умови: (1) і (2):

~q /\ ~p /\ r (СКНФ)

Таким чином, наслідками з формули, що виражає дві умови, є формули ~q, ~p і r.

Зведена до СКНФ вихідна формула засвідчує, що висловлені твердження ~q і ~p є хибними, а висловлення r є істинним. Отже, теза „Хтось із трьох підозрюваних (К., М., Я.) фальсифікував результати голосування” випливає з наведених умов (гіпотез), оскільки один із трьох підозрюваних (r) фальсифікував результати голосування.

Скорочена диз’юнктивна нормальна форма – розв’язкова процедура пошуку простих гіпотез (аргументів-засновків), із яких побудовані доведення (спростування).

Проблему вивідності тези з аргументів можна, на наш погляд, розв’язувати шляхом зведення формули, що репрезентує доведення (спростування) до скороченої диз’юнктивної нормальної форми (СДНФ).

Щоб звести формулу до СДНФ, треба здійснити наступні перетворення:

· звести її до диз’юнктивної нормальної форми (ДНФ);

· з усіх однакових диз’юнктивних членів ДНФ залишити лише один, а в елементарних диз’юнкціях викреслити усі повторення;

· усунути з ДНФ всі тотожно хибні (p /\ ~p) диз’юнктивні члени;

· якщо серед диз’юнктивних членів ДНФ є два такі, що один містить певну змінну, а інший – її заперечення, то на основі закону виявлення (рівносильності (22) додати новий диз’юнктивний член. У якості законів виявлення можна використати також рівносильності (22а) С \//\ ~С) рівносильне С \//\ ~С) \/ В та (22б) (А /\ С) \/ ~С рівносильне (А /\ С) \/\/ А, які є окремими випадками рівносильності (22) (А /\ С) \//\ ~С) = (А /\ С) \//\ ~С) \//\ В);

· якщо в нових диз’юнктивних членах ДНФ є повторення, то їх треба викреслити;

· якщо серед диз’юнктивних членів ДНФ є такі, які поглинаються іншими, то застосовуючи правило заміни за рівносильністю (20): (А /\/\ А) = А) викреслити усі диз’юнктивні члени, що поглинаються.

Отримана формула і є скороченою ДНФ даної формули, кожний диз’юнкт якої і є простою гіпотезою.

Таким чином, для того, щоб отримати усі прості гіпотези, тобто знайти ті слабкі припущення (в нашому випадку – аргументи), за яких дана формула була б їх наслідком, треба звести формулу до СДНФ. Інакше кажучи, формула, отримана методом зведення до СДНФ, репрезентує міркування, структурні елементи якого містять тезу й аргументи, що пов’язані між собою відношенням логічного слідування.

Процедура зведення формули до НФ та ДНФ вам відома, проте коротко нагадаємо умови зведення формули до ДНФ. Отже, звівши формулу до НФ, треба за рівносильностями (7) (А /\/\ С)) = (А /\ В) /\/\ С) та (7’) ((В /\ С) /\ А) = (А /\ В) /\/\ С) звести її до ДНФ. Відтак, отриману ДНФ звести до СДНФ.

 

Завдання.Обґрунтуйте коректність доведення, репрезентованого формулою ((p /\ q) \/ r)®r, вказавши прості гіпотези, з яких вона випливає.

Відповідь.((p /\ q) \/ r)®r

~((p /\ q) \/ r) \/ r (13)

~(p /\ q) /\ ~r \/ r (11)

((~p \/ ~q) /\ ~r) \/ r (10)

(~p /\ ~r) \/ (~q /\ ~r) \/ r (7’)

(~p /\ ~r) \/ (~q /\ ~r) \/ r \/ ~p \/ ~q (22б)

(~p /\ ~r) \/ (~q /\ ~r) \/ r \/ ~p \/ ~q (20)

r \/ ~p \/ ~q СДНФ

Отже, формула ((p /\ q) \/ r)®r випливає із гіпотез або r, або ~p, або ~q. Таким чином, доведення, репрезентоване формулою ((p/\q) \/ r) ® r, де тезою є висловлення r і аргументами – висловлення (p /\ q) та r, є коректним.

 

Завдання.Які прості гіпотези лягли в основу побудови доведення, аргументами якого є висловлення p ® q, q ® r, p, а тезою є висловлення r? Висновок обґрунтуйте відповідною процедурою.

Відповідь.Щоб обґрунтувати вивідність тези r з аргументів p ® q, q ® r, p, треба з’ясувати: які прості гіпотези (припущення) лягли в основу побудови формули, що репрезентує доведення. Задля цього з’єднуємо аргументи кон’юнкцією, а тезу приєднуємо імплікацією:

((p®q) /\ (q®r) /\ p)®r.

Оскільки за умовою завдання нам треба знайти прості гіпотези (припущення), що лягли в основу побудови структури доведення, то застосовуємо метод зведення утворення формули до СДНФ.

Щоб утворити СДНФ даної формули, зводимо спершу її до НФ, а відтак до ДНФ, і тільки після цих процедур переходимо до перетворення ДНФ у СДНФ, яка і дасть нам відповідь на сформульоване завдання.

 

((p ® q) /\ (q ® r) /\ p) ® r

~((~p \/ q) /\ (~q \/ r) /\ p) \/ r (13)тричі

(~(~p \/ q) \/ ~(~q \/ r) \/ ~p) \/ r (11)

((~~p /\ ~q) \/ (~~q /\ ~ r) \/ ~p) \/ r (10)

(p /\ ~q) \/ (q /\ ~r) \/ ~p \/ r (1)

(p /\ ~q) \/ (q /\ ~r) \/ ~p \/ r \/ r \/ ~q \/ q \/ ~r \/ p (22б)

~p \/ r \/ r \/ ~q \/ q \/ ~r \/ p (20)

Отже, простими гіпотезами (припущеннями), що лягли в основу побудови доведення, поданого формулою ((p ® q) /\ (q ® r) /\ p) ® r, є: або ~p, або r, або ~q, або q, або ~r, або p.

Таким чином, завершуючи знайомство з деякими методами, процедурами, способами логічного аналізу формул, що репрезентують доведення (спростування) у контексті логіки висловлень як логічної теорії, ви переконалися не тільки в її прагматичності, а й набули самі певних навичок і умінь оперувати її законами, правилами, методами. Зауважимо, що не всі вони є наразі достатніми для розв’язання складних проблем, пов’язаних із з’ясуванням логічних основ аргументації і т. ін. Як і будь-які методи, вони обмежені в застосуванні. Досить таки часто і доведення, і спростування як форми і способи міркування потребують нових засобів логічного аналізу, зумовлених не тільки формою, а й мовою, якою вони формалізуються, а також відповідними правилами і законами утворення й перетворення формул, що репрезентують доведення і спростування.

Тому наступним етапом в оволодінні навичками логічного аналізу формалізованих і неформалізованих доведення й спростування ви ознайомитеся в наступному розділі.