Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

ІНТЕРПРЕТАЦІЯ ЯК ЗАСІБ ОБҐРУНТУВАННЯ КОРЕКТНОСТІ ДОВЕДЕННЯ АБО СПРОСТУВАННЯ



 

Інтерпретація, як і будь-який спосіб обґрунтування коректності доведення чи спростування, не є універсальним засобом, але може бути використана в практиці логічного аналізу як допоміжний метод. Знайомство з цим методом дає можливість розширити уявлення про розв’язкові процедури логіки предикатів.

Щоб коректно розв’язати завдання методом інтерпретації, вам треба знати спершу про вільне і зв’язане входження змінної у формулу. Змінна є зв’язаною, якщо вона перебуває в області дії кванторів, у решті випадків вона є вільною. Так, у формулі "х1Р2) ®Р3) перше і друге входження змінної „х” є зв’язаним квантором ", а входження змінної „у” – вільним. Зауважимо, що істиннісне значення формули залежить від вільних змінних.

Нехай ми маємо формулу Р(х1) ® "х2Р(х3). Тут змінна „х” входить у формулу тричі, але тільки друге і третє входження змінної х є зв’язаним квантором загальності ("), а перше входження змінної х є вільним.

Проінтерпретуємо цю формулу на істиннісне значення. За множину інтерпретації візьмемо двоелементну множину (М) {3,4}; одномісну предикатну змінну Р витлумачуємо як властивість „є парним числом”. Замінимо Р(х) виразом „х –парне число”. Консеквент імплікації ("хР(х)) перейде у висловлення „Для будь-якого хÎ{3,4} х є парним числом”, тобто („3 – парне число”) /\ („4 – парне число”), яке буде хибним. (Нагадаємо, що квантор загальності розподіляється стосовно кон’юнкції, а квантор існування – стосовно диз’юнкції). Отже, антецедент імплікації Р(х)®"хР(х) у даній інтерпретації переходить у предикат „х – парне число”, де змінна х пробігає множину {3,4}. При х = 3 інтерпретацією формули Р(х)®"хР(х) буде істинне висловлення Р(х)®"хР(х) º Р(х)®(Р(х) /\ Р(х)) – „Якщо (3-парне число), то (3 – парне число) і (4 – парне число): (3-парне число)®(3-парне число) /\ (4-парне число):

х ® і /\ х

і х

При х = 4 отримаємо хибне висловлення:

(4-парне число)®(3-парне число) /\ (4-парне число).

і ® х /\ і

х х

Цей результат зумовлений тим, що формула Р(х)®"хР(х) не є замкненою, а її інтерпретація залежить від вільної змінної х.

У логіці предикатів ми маємо справу з універсальною множиною, яка може містити значну кількість елементів. За такої умови складання таблиць істинності стає неможливим. Крім того, в логіці предикатів містяться предикатні змінні, значеннями яких є конкретні предикати. Щоб застосувати розроблений апарат аналізу логіки висловлень у логіці предикатів, треба надати предикатним змінним певної інтерпретації. Нагадаємо, що інтерпретацією формули на певній множині називають заміщення кожної n-місної предикатної змінної у формулі відповідним n-місним входженням кожної предметної сталої (деяким елементом з множини М). Інтерпретацією формули логіки предикатів, яка не містить вільних предметних змінних, є певне висловлення. Коли формула містить вільні предметні змінні, інтерпретація дає висловлювальну форму, істиннісне значення якої залежить від вільних змінних.

З метою кращого засвоєння процесу оцінки формули логіки предикатів, розглянемо випадок, коли множина інтерпретації М містить два елементи {a,b}, а предикати, що входять у дану формулу, двомісні.

На двоелементній множині {a,b} кількість одномісних логічних функцій дорівнює чотирьом. Виписуємо їх у таблицю (символом „L” позначаємо логічну функцію), а істиннісне значення функції залежить від аргументів „х” та „і”.

х L1 L2 L3 L4
a x x i i
b x i x i

Мета розв’язкової процедури полягає у наступному:

Застосовуючи метод інтерпретації, ми оцінюємо формулу, що виражає або репрезентує, наприклад, доведення, на її істиннісне значення. З’ясовуючи логічне значення формули, ми розв’язуємо водночас проблему про клас формули, а також питання про наявність відношення логічного слідування між формулами, що виражають аргументи, та формулами, які репрезентують тезу в структурі конкретного доведення.

Припустимо, треба оцінити формулу логіки предикатів на її істиннісне значення і, таким чином, з’ясувати проблему вивідності тези з аргументів, інтерпретуючи її на двоелементній множині {a,b} множини М.

Нехай формула "хР(х)®Р(у) виражає одну із форм міркування, характерну для безпосередніх умовиводів, де аргументом є антецедент "хР(х), а тезою – консеквент Р(у) (у нашому тлумаченні).

Складаємо таблицю, на вході якої записуємо предикатні змінні та вільні предметні змінні, що входять у формулу. Предикатна змінна Р(у) пробігає множину одномісних логічних функцій (L1 – L4) на {a,b}, вільна предметна змінна у та змінна х пробігають множину {a,b}. Застосовуючи правило оцінки для операцій логіки висловлень, враховуючи при цьому, що квантор загальності " розподіляється стосовно кон’юнкції, а квантор існування – стосовно диз’юнкції.

 

Завдання.Проінтерпретуйте на множині {a,b} формулу "хР(х)®Р(у), яка репрезентує безпосереднє доведення, де Р(у) – теза, а "хР(х) – аргумент.

Відповідь.Таблиця результату інтерпретації:

 

№ п/п Р у "хР(х) Р(у) "хР(х)®Р(у)
L1 a х х і
L1 b х х і
L2 a х х і
L2 b х і і
L3 a х і і
L3 b х х і
L4 a і і і
L4 b і і і

 

Отже, формула "хР(х)®Р(у) є тотожно істинною. Таким чином, теза Р(у) випливає з аргумента "хР(х). Дане доведення є коректним.

Щоб отримати підсумкову таблицю інтерпретації формули "хР(х)®Р(у) на множині {a,b}, мусимо здійснити оцінку формули за відповідною процедурою.

Результати інтерпретації обчислюємо для кожного рядка, користуючись значеннями логічних функцій L1 – L4 за таблицею:

х L1 L2 L3 L4
a x x i i
b x i x i

Оскільки формула містить квантор загальності, то підкванторна або закванторна основа (Р(х)) розподіляється стосовно кон’юнкції, а саме: "хР(х) = Р(х) /\ Р(х). Тоді рядки виглядатимуть так:

Рядок 1. "х(L1(a) /\ L1(b)) = x /\ x = x

Рядок 2. "х(L1(a) /\ L1(b)) = x /\ x = x

Рядок 3. "х(L2(a) /\ L2(b)) = x /\ i = x

Рядок 4. "х(L2(a) /\ L2(b)) = x /\ i = x

Рядок 5. "х(L3(a) /\ L3(b)) = i /\ x = x

Рядок 6. "х(L3(a) /\ L3(b)) = i /\ x = x

Рядок 7. "х(L4(a) /\ L4(b)) = i /\ i = i

Рядок 8. "х(L4(a) /\ L4(b)) = i /\ i = i

Отримані у 8-ми рядках істиннісні значення записуємо в таблиці під виразом "хР(х), який є аргументом доведення.

Значення консеквента Р(у) також визначаємо за тією ж таблицею значень логічних функцій L1 – L4 і записуємо під формулою Р(у) у кожному рядку:

Рядок 1. L1(a) = х

Рядок 2. L1(b) = х

Рядок 3. L2(a) = х

Рядок 4. L2(b) = i

Рядок 5. L3(a) = i

Рядок 6. L3(b) = x

Рядок 7. L4(a) = i

Рядок 8. L4(b) = i

Ці значення предиката Р(у) отримано в результаті пробігання змінної Р по множині одномісних логічних функцій L1 – L4, а вільної предметної змінної у по множині {a,b}.

Оскільки антецедент "хР(х) пов’язаний з консеквентом (Р(у)) імплікацією (®), то порівнюючи їх значення за таблицею імплікації, ми отримуємо логічне значення „і” в усіх рядках інтерпретованої на множині {a,b} формули "хР(х)®Р(у), яка репрезентує доведення. Це означає, що теза Р(у) випливає із аргумента "хР(х) за даної інтерпретації на М {a,b}.

Зверніть увагу на той факт, що логічне значення формули, що репрезентує доведення, є значенням розсудкової функції, аргументами якої є значення антецедента і консеквента, що репрезентують структурні елементи доведення. Цей факт досить яскраво ілюструє думку про те, що коректність чи некоректність доведення (чи спростування) залежить не тільки від логічних значень їх структурних елементів самих собою, а й від способу логічного зв’язку між ними. Щоб переконатись у цьому, спробуйте обґрунтувати сказане, проінтерпретувавши, наприклад, формулу "хР(х)®Р(у) у зворотньому напрямі: Р(у)®"хР(х).

Інтерпретація – досить-таки громіздкий спосіб обґрунтування коректності чи некоректності доведення чи спростування. Проте в деяких ситуаціях його можна використовувати як розв’язкову процедуру розв’язання проблеми вивідності простих консеквентів з антецедентів у формулах, що претендують на роль законів логіки предикатів, які часто використовуються у процедурах числення логіки предикатів у якості припущень – законів чи правил (Див. п.6.2.2.4 цього тексту): для доведення тези „Існують центристи” ($хR(х)) ми обрали два закони логіки предикатів: "хF(х)®F(у), який обґрунтовано методом інтерпретації (підставивши замість метазнака F символ конкретного предикатора Р) у структурі формули "хР(х)®Р(у), яка є правилом логіки предикатів - " (усунення квантора загальності).

Другим припущенням у ролі аргумента було взято формулу F(у)®$хF(х), яка також є законом числення предикатів – В$ (введення квантора існування). Про його істиннісне значення в структурі розв’язкової процедури ми знали до того, як здійснювали доведення. Інша річ, коли ми не впевнені в тому, що формула, яка береться в якості аргумента, є законом логіки. У такому випадку мусимо перевірити дану формулу на її істиннісне значення і тільки тоді „включати” її в структурні елементи доведення як аргумент.

Щоб обґрунтувати коректність закону чи правила, яке ми взяли за аргумент-припущення F(у)®$хF(х), треба спробувати його на певній множині {a,b}.

Здійснивши підстановку в F предикатора Р(у), ми отримуємо вираз Р(у)®$хР(х), який проінтерпретуємо на М {a,b} задля того, щоб переконатись у тому, що взятий в якості припущення аргумент є достатнім для доведення тези $хР(х).

А тепер відомою вам процедурою проінтерпретуємо вираз Р(у)®$хР(х) на двоелементній множині {a,b}:

Креслимо таблицю результатів інтерпретації:

№ п/п Р у Р(у) $хР(х) Р(у)®$хР(х)
L1 a х х і
L1 b х х і
L2 a х і і
L2 b і і і
L3 a і і і
L3 b х і і
L4 a і і і
L4 b і і і

Цей результат ми отримуємо за допомогою інтерпретації.

Вам уже відомо, що квантор існування розподіляється стосовно диз’юнкції. Тому вираз $хР(х) подаємо як диз’юнкцію предикатів $хР(х) /\ Р(х). Отже, змінна х пробіжить в одному з диз’юнктів по „a”, а в іншому – по „b”. Предикатор Р пробіжить множиною логічних функцій L1 – L4. Тепер вихідна формула Р(у)®$хР(х) набере вигляду: $х(х) /\ Р(х)).

1. $х(L1(a) /\ L1(b)) = x /\ x = x

2. $х(L1(a) /\ L1(b)) = x /\ x = x

3. $х(L2(a) /\ L2(b)) = x /\ i = i

4. $х(L2(a) /\ L2(b)) = x /\ i = i

5. $х(L3(a) /\ L3(b)) = i /\ x = i

6. $х(L3(a) /\ L3(b)) = i /\ x = i

7. $х(L4(a) /\ L4(b)) = i /\ i = i

8. $х(L4(a) /\ L4(b)) = i /\ i = i

Результати інтерпретації консеквента $хР(х) записуємо у відповідні рядки таблиці.

З’ясувавши значення консеквента $хР(х), виявляємо логічні значення антецедента Р(у):

1. L1(a) = x

2. L1(b) = x

3. L2(a) = x

4. L2(b) = i

5. L3(a) = i

6. L3(b) = x

7. L4(a) = i

8. L4(b) = i

Результат інтерпретації записуємо у відповідні рядки.

Маючи значення антецедента Р(у) і консеквента $хР(х) визначаємо істиннісне значення імплікації Р(у)®$хР(х). З’ясувавши істиннісне значення усієї формули за таблицею імплікації, яка в усіх рядках має значення „і” („істина”), робимо висновок про те, що взятий нами аргумент є тотожно істинним, або законом логіки предикатів. Отже, даний аргумент є достатнім для обґрунтування тези.

І насамкінець, варто пам’ятати, що обґрунтування коректності чи некоректності доведення чи спростування не обмежується запропонованими вам методами. Ця обставина має спонукати вас до пошуку нових розв’язкових процедур логіки висловлень і логіки предикатів.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Що таке аргументація в „широкому” і „вузькому” розумінні?

2. Які логічні дії складають основу аргументації?

3. Чи є тотожними поняття „аргументація”, „доведення”, „спростування”?

4. Яка логічна структура доведення?

5. Що спільного й відмінного мають теза доведення і висновок умовиводу?

6. Які є види аргументів?

7. Що таке демонстрація?

8. Які форми доведення ви знаєте?

9. Чим прямі доведення відрізняються від непрямих?

10. Що характерно для непрямих доведень?

11. У чому специфіка розділового доведення?

12. Яка особливість індуктивних доведень?

13. За яких обставин використовують доведення за аналогією?

14. Які ви знаєте правила стосовно тези доведення?

15. Яких помилок припускаються при порушенні правил тези?

16. Які правила ви знаєте стосовно аргументів?

17. Які правила демонстрації ви знаєте?

18. Які помилки виникають при порушенні правил щодо демонстрації?

19. Чи є взаємозв’язок між правилами умовиводу та правилами логічного слідування?

20. Що таке спростування?

21. Яка логічна структура спростування?

22. Які види спростувань вам відомі?

23. У чому суть спростування тези?

24. Що характерно для спростування тези шляхом обґрунтування істинності антитези?

25. У чому специфіка спростування методом „зведення до абсурду”?

26. Як спростовуються аргументи?

27. У чому полягає особливість спростування демонстрації?

28. Які помилки виникають при недотриманні правил демонстрації?

29. Чи співпадають правила демонстрації і правила умовиводів?

30. Чим різняться формалізоване доведення і неформалізоване?

31. У чому полягає відмінність формалізованого від неформалізованого?

32. Чи можна обійтись без формалізованих доведень і спростувань?

33. У чому полягає відмінність доведення (спростування) засобами традиційної логіки і сучасної логіки?

34. Які логічні засоби логіки висловлень використовують для обґрунтування коректності доведення (спростування)?

35. У чому полягає логічна спроможність методу таблиць істинності як засобу з’ясування зв’язку між тезою і аргументами?

36. Чи розв’язує проблему коректності доведення (спростування) метод аналітичних таблиць? Якщо ні, то чому?

37. Як корелюються натуральний вивід у логіці висловлень з процедурою доведення (та спростування)?

38. Чи є відмінність між правилами виводу і схемами міркувань логіки висловлень?

39. Які правила і закони логіки висловлень ви знаєте?

40. У чому перевага методу числення в системі натурального виводу (СНВ) логіки висловлень над методами таблиць істинності та аналітичних таблиць?

41. Які рівносильності логіки висловлень найчастіше використовують у розв’язкових процедурах по обґрунтування коректності доведення?

42. Чи є зведення формули до нормальної форми (НФ) достатньою розв’язковою процедурою з’ясування статусу доведення і спростування у контексті логіки висловлень як логічної теорії?

43. Які рівносильні перетворення треба здійснити, щоб отримати нормальну форму формули?

44. Якого припису треба дотримуватися, щоб звести формулу, яка репрезентує доведення, до кон’юнктивної нормальної форми (КНФ)?

45. Яким чином зводиться формула, що виражає доведення чи спростування, до диз’юнктивної нормальної форми (ДНФ)?

46. Як розв’язується проблема вивідності усіх можливих тез з аргументів методом зведення формули доведення до досконалої кон’юнктивної нормальної форми (ДКНФ)?

47. У який спосіб можна знайти усі можливі аргументи-припущення з формули, що репрезентує доведення?

48. Чи можна використати скорочену кон’юнктивну нормальну форму як засіб знаходження усіх простих тез, що випливають з аргументів-гіпотез?

49. За яким приписом (алгоритмом) відбувається пошук простих аргументів-гіпотез, які лежать в основі доведення?

50. Які розв’язкові процедури й методи використовуються в логіці предикатів для перевірки коректності доведення чи спростування?

51. У чому полягає суть розв’язкової процедури аналізу доведення (спростування), виражених формами умовиводів логіки предикатів?

52. Чим різняться засоби виявлення логічного зв’язку між тезою і аргументами в системах натурального виводу логіки висловлень і логіки предикатів?

53. У чому полягає специфіка логічного зв’язку між структурними елементами доведення чи спростування, репрезентованого системою натурального числення логіки висловлень і логіки предикатів?

54. Як здійснюється оцінка коректності (некоректності) доведення (спростування) методом аналітичних таблиць логіки предикатів?

55. Чи взаємопов’язані між собою правила і закони логіки висловлень та логіки предикатів у розв’язкових процедурах як засобах з’ясування коректності чи некоректності доведення (спростування)?

56. У чому суть інтерпретації як способу чи засобу з’ясування коректності чи некоректності доведення і спростування?

57. Як здійснюється інтерпретація формул, що репрезентують доведення (спростування)?

58. Які закони і правила логіки висловлень і логіки предикатів ви знаєте?

59. Чи підлягають інтерпретації формули, що вводяться у структуру процедур обґрунтування у якості припущень?

60. Чому в логіці висловлень розрізняють два типи правил (основні і похідні) в процедурі доведення чи спростування?

61. Чи співпадають аналітичні правила логіки висловлень і аналітичні правила логіки предикатів? Якщо не співпадають, то чому?

62. Що є підставою для використання основних рівносильностей логіки висловлень у розв’язкових процедурах логіки предикатів?

63. Чи можливий універсальний метод розв’язання проблеми коректності чи некоректності логічних операцій, які є логічною основою аргументації?

64. Як вписується методологія розв’язкових процедур традиційної і класичної логіки у контекст методології „нового раціоналізму”?