Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Розв'язування.



А) 1-ий спосіб. Обчислимо значення суми , безпосередньо використовуючи формулу сполук без повторень (3):

.

2-ий спосіб. Обчислимо значення розглядуваної суми , використовуючи властивості сум біноміальних коефіцієнтів:

, , .

Згідно властивості суми непарних членів бінома Ньютона: — отримаємо значення .

Б) 1-ий спосіб.

.

2-ий спосіб . Використовуючи властивість біноміальних коефіцієнтів, розглянуту у пункті А, – значення суми парних біноміальних коефіцієнтів , – знайдемо шукане значення:

Відповідь: значення заданих сум є такими: А) ; Б) .

Задача 3.

Обчислити коефіцієнти многочлена:

А) ;

Б) .

Розв'язування. Розв'язання розглядуваних завдань ґрунтуватиметься на формулі (9).

А) Здійснимо заміну параметра а на у формулі бінома Ньютона, тоді

Таким чином, коефіцієнти многочлена будуть наступними:

Б) 1-ий спосіб. Застосовуючи формулу бінома Ньютона виду (9), знайдемо коефіцієнти многочлена 5-го степеня від трьох змінних , ввівши такі позначення: , .

Тоді отримаємо:

Кожен вираз у дужках розкриємо, використовуючи формулу (9) для кожного значення степеня , та отримаємо

;

;

;

.

Підставимо отримані вирази у співвідношення для :

Тепер зведемо подібні члени з однаковими коефіцієнтами, розкривши дужки, та отримаємо

Отже,

2-ий спосіб. Використаємо комбінаторні об'єкти для канонічного представлення многочлена k степеня від n змінних: число перестановок з повтореннями та число комбінацій з повтореннями.

Загальна кількість членів, які буде містити отриманий многочлен після розкриття дужок та зведення подібних членів, буде дорівнювати

.

Розглядуваний многочлен залежить від 3-х змінних, тоді в нашому випадку та — степінь многочлена. Тому загальна кількість членів (доданків), які буде містити результуючий многочлен становитиме . Якщо підрахувати число доданків, які ми отримали в результуючому виразі для за першим способом, то отримаємо те саме значення 21.

Коефіцієнти такого многочлена можна отримати за допомогою поліно­міальної формули (6), згідно якої у заданому прикладі а степінь змінної , степінь змінної , степінь змінної у кожному з доданків формули.

Тоді за співвідношенням (6) коефіцієнт, що стоїть при , буде дорівнювати . Аналогічними будуть коефіцієнти при та .

Обчислимо коефіцієнт, що стоїть біля члену . За вищевказаною формулою він буде дорівнювати . Аналогічно знаходяться коефіцієнти для , , , та .

Визначимо коефіцієнт, що стоїть біля виразу , за формулою (6): . Таке ж значення коефіцієнта, що стоїть при , , , та .

Коефіцієнт, що стоїть при , дорівнює відповідно , як і аналогічні коефіцієнти при та .

Коефіцієнт при члені визначимо як . Таке ж значення коефіцієнтів, що стоять при та .

Тоді многочлен можемо записати у вигляді:

Таким чином, коефіцієнти, обчислені за поліноміальною формулою, повністю співпадають із коефіцієнтами, визначеними за допомогою першого способу.

Відповідь: задані многочлени матимуть таке розвинення:

1)
2)

Задача 4.

У заданому виразі розкрили дужки та звели подібні члени. Скільки членів буде містити многочлен та яким буде коефіцієнт, що стоятиме при доданку у цьому многочлені?

Розв'язування. Загальна кількість членів, які входитимуть у многочлен го степеня від змінних після розкриття дужок та зведення подібних членів буде дорівнювати числу сполук із повтореннями, що визначається формулою (4)

Коефіцієнти такого многочленна можна отримати за допомогою полі­номіальної формули (6), де степінь при і-ій змінній у відповідному члені многочлена.

У многочлені число змінних 3, а його степінь 9: , . Загальна кількість членів, які буде містити заданий многочлен після розкриття дужок та зведення подібних членів, буде становити

.

Коефіцієнт при члені дорівнюватиме .

Відповідь: кількість доданків дорінює 55, а значення коефіцієнта при відповідному членові — 1260.

Задача 5.

Скільки цілочисельних розв'язків мають наступні рівняння?

1) ;

2) .

Розв'язування. Загальна кількість цілочисельних невід'ємних розв'язків рівняння

, де ,

визначається за формулою числа сполук з повтореннями (4).

А) Задане рівняння залежить від чотирьох змінних ( ), кожна з яких може набувати цілочисельного невід'ємного значення від 0 до . Отже, загальне число таких розв’язків розглядуваного рівняння буде дорівнювати

.

Б) Лінійне рівняння , що залежить від семи змінних , має скінченну множину цілочисельних невід'ємних розв'язків, значення кожної з цих змінних не перевищує числа . Потужність цієї множини дорівнює загальній кількості цілочисельних розв'язків розглядуваного рівняння та буде визначатися за числом сполук із повтореннями:

.

Відповідь: кількість невід'ємних цілочисельних розв'язків відповідного рівняння становитиме А)120; Б) 54264.

Задача 6.

Знайти середній член розкладу виразу

.

Розв'язування У формулі бінома Ньютона покладемо , , , тоді заданий розклад матиме вигляд .

Для встановлення лічби доданків у розглядуваному співвідношенні використаємо відому формулу (4) числа комбінацій з повтореннями , що вкаже на 13 доданків. Отже, середній член розкладу матиме номер 7, і це буде член при (0..6) з коефіцієнтом . А сам член розкладу дорівнює

.

Відповідь: середній член розкладу буде дорівнювати 924 .

Задача 7.

Знайти член розкладу бінома , який містить , якщо сума всіх його біноміальних коефіцієнтів дорівнює 128.