Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Розв'язування.



Для знаходження загального розв'язку лінійного однорідного рекурентного рівняння використаємо метод характеристичного рівняння. Це характеристичне рівняння отримуємо з припущення, що розв'язком такого рівняння є вираз . Підставляємо цей вираз у рівняння, скорочуємо на спільний вираз, яким буде степінь числа , отримаємо многочлен відповідного степеня, який і буде характеристичним рівнянням.

А) Отже, покладемо у лінійне однорідне рекурентне рівняння співвідношення та отримаємо вираз . Скоротимо кожен з його членів на і тоді характеристичним рівнянням розглядуваного рекурентного буде рівняння вигляду , тобто, . Корені цього квадратного рівняння отримаємо за теоремою Вієта і будемо мати , . Оскільки корені дійсні різні, то загальний розв'язок лінійного однорідного рекурентного рівняння буде мати вигляд

,

де — невизначені константи, які залежать від початкових умов задачі.

Б) Рівняння є неоднорідним лінійним рівнянням першого порядку, оскільки кожен член рекурентного співвідношення залежить лише від одного попереднього члена, а також є вплив неоднорідності виду . За теоремою про структуру лінійного неоднорідного рівняння його розв'язок складається зі суми загального розв'язку відповідного однорідного рівняння та деякого частинного розв'язку неоднорідного рівняння, індукованого неоднорідністю :

.

Знайдемо загальний розв'язок однорідного рівняння . Його характеристичне рівняння матиме вигляд . Тоді загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння першого порядку буде таким

.

Для знаходження частинного розв'язку розглядуваного рівняння з неоднорідністю використаємо метод підбору невизначених коефіцієнтів, враховуючи, що . Отже, , оскільки неоднорідність є константою. Значення цієї константи встановимо, підставляючи у неоднорідне рівняння, зауважуючи також, що має місце рівність .

Так як , то , тому .

Таким чином, .

Перевіримо, підставляючи загальний розв'язок неоднорідного рівняння у задане :

.

Ця рівність є тотожністю, бо .

Коефіцієнт залежить від початкових умов.

Відповідь: загальний розв'язок кожного рівняння відповідно буде таким:

1) ;

2) .

Задача 9.

Розв'язати рекурентні рівняння для заданих початкових умов.

1) , , ;

2) , .