Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Розв’язування типового варіанта



1. Маємо систему лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь:

Необхідно:

Перевірити, чи є система сумісною, та в разі сумісності розв’язати її:

а) за формулами Крамера;

б) за допомогою оберненої матриці (матричним методом);

в) методом Гаусса.

Розв’язання:

Сумісність даної системи перевіримо за теоремою Кронекера-Капеллі. За допомогою елементарних перетворювань знайдемо ранг

матриці даної системи

та ранг розширеної матриці .

Для цього помножимо перший рядок матриці В на –2 та додамо до другого, далі множимо перший рядок на –3 і додаємо до третього, змінюємо третій і другий стовпці місцями:

~ ~ ~

Отже . Тоді за теоремою Кронекера-Капеллі випливає сумісність даної системи.

а) за формулами Крамера:

якщо , , , , де

, , ,

знаходимо: , ,

б) Для знаходження розв’язку системи за допомогою оберненої матриці запишемо систему рівнянь у матричної формі , де

, , .

Розв’язок системи у матричної формі має вигляд .

Знаходимо обернену матрицю (вона існує, тому що ):

, ,

, ,

, ,

Розв’язок системи:

Отже, , ,

в) Розв’яжемо систему за методом Гаусса. Зведемо початкову систему рівнянь к трикутному виду. Вилучимо x1 з другого й третього рівнянь. Для цього перше рівняння помножимо на 2 та віднімемо від другого, потім перше рівняння помножимо на 3 та віднімемо від третього:

Розв’язок системи: , , .

2. Маємо систему лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь:

Необхідно:

Перевірити, чи є система сумісною, та в разі сумісності розв’язати її:

а) за формулами Крамера;

б) за допомогою оберненої матриці (матричним методом);

в) методом Гауса.

Розв’язання:

Сумісність даної системи перевіримо за теоремою Кронекера-Капеллі. У розширеної матриці

третій і перший стовпці міняємо місцями, множимо перший рядок на 3 і додаємо до другого, множимо перший рядок на 2 і додаємо до третього, із третього рядка віднімаємо другий рядок:

~ ~ ~

Отже зрозуміло, що . Відповідно до теореми Кронекера-Капеллі, з того, що , випливає несумісність вихідної системи, таким чином дана система розв’язків не має.

3. Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Розв’язання:

Визначник системи , тому система має єдиний нульовий розв’язок:

4. Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Через те, що визначник системи , то система має нескінченну множину розв’язків. Оскільки , візьмемо будь-які два рівняння системи (наприклад, перше і друге) і знайдемо її розв’язок.

Маємо:

Через те, що визначник з коефіцієнтів при невідомих і не дорівнює нулю, то в якості базисних невідомих візьмемо і (хоча можна брати й інші пари невідомих) і перенесемо члени з в праві частини рівнянь:

Розв’язуємо останню систему за формулами Крамера:

, , де

, ,

Звідси знаходимо: , .

Вважаючи, наприклад, , де kÎR – довільний коефіцієнт пропорційності, одержуємо розв’язок вихідної системи: , , .


2.1 Варіанти завдань до теми «Системи лінійних рівнянь»

Задача №1. Задана неоднорідна система лінійних рівнянь.

Необхідно:

а) перевірити її сумісність;

б) у випадку сумісності розв’язати систему трьома засобами:

- за формулами Крамера;

- методом Гаусса;

- за допомогою оберненої матриці.


Задача №2. Розв’язати однорідну систему лінійних рівнянь:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                 

 


3. Тема “Вектори на площині та у просторі”