Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Розв’язування типового варіанта



1. По координатах точок , та знайти:

а) модуль вектора ;

б) скалярний добуток векторів та ;

в) проекцію вектора на вектор .

Розв’язання:

а) Послідовно знаходимо , , ,

б) Маємо , . Тоді .

в) Через те що , , то , ,

2. Задані вектори , , .

Необхідно:

а) знайти модуль векторного добутку та ;

б) обчислити мішаний добуток векторів , та ;

в) перевірити, чи є компланарними вектори , та .

Розв’язання:

а) Оскільки , то

б) Через те, що , то

в) Вектори , та є компланарними, якщо .

Обчислюємо , тобто вектори не компланарні.

3. Вершини піраміди знаходяться у точках , , , .

Обчислити:

а) площу грані АВС;

б) площу перерізу, який проходить через середини ребер AB, AC, AD;

в) об’єм піраміди ABCD.

Розв’язання:

а) Відомо, що . Знаходимо: , ,

.

Остаточно маємо: (кв. од.)

б) Середини ребер AB, AC, AD знаходяться відповідно у точках , , .

Знаходимо координати цих точок.

Координати точок та знаходимо аналогічно. , .

Далі маємо: , , .

в) Об’єм піраміди знаходимо за формулою .

, . Таким чином .

4. Довести, що вектори , , утворюють базис, та знайти координати вектора в цьому базисі.

Обчислюємо

Отже, вектори , , утворюють базис та вектор лінійно виражається через базисні вектори:

,

де координати вектора у базисі , , або у координатній формі

Розв’язуємо одержану систему за формулами Крамера. Знаходимо: .

, ,

, ,

тому .


3.1 Варіанти завдань до теми «Вектори на площині та у просторі»

Задача №1. Задано вектори , , . Необхідно:

1) обчислити мішаний добуток трьох векторів;

2) знайти модуль векторного добутку двох векторів;

3) перевірити, чи є компланарними три вектори.

Для кожного пункту вказані різні вектори (по варіантах).

, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)
, 1) , 2) , 3) , 1) , 2) , 3)

 


Задача №2. Вершини піраміди знаходяться у точках А, В, С та D.

Обчислити: а) площу вказаній у Вашому варіанті грані;

б) об’єм піраміди.

A(3; 4; 5), B(1; 2; 1), C(-2; -3; 6), D(3; -6; -3), грань ACD
A(-7; -5; 6), B(-2; 5; -3), C(3; -2; 4), D(1; 2; 2), грань BCD
A(1; 3; 1), B(-1; 4; 6), C(-2; -3; 4), D(3; 4; -4), грань ACD
A(2; 4; 1), B(-3; -2; 4), C(3; 5; -2), D(4; 2; -3), грань ABD
A(-5; -3; -4), B(1; 4; 6), C(3; 2; -2), D(8; -2; 4), грань ACD
A(3; 4; 2), B(-2; 3; -5), C(4; -3; 6), D(6; -5; 3), грань ABD
A(-4; 6; 3), B(3; -5; 1), C(2; 6; -4), D(2; 4; -5), грань ACD
A(7; 5; 8), B(-4; -5; 3), C(2; -3; 5), D(5; 1; -4), грань BCD
A(3; -2; 6), B(-6; -2; 3), C(1; 1; 4), D(4; 6; -7), грань ABD
A(-5; -4; -3), B(7; 3; -1), C(6; -2; 0), D(3; 2; -7), грань BCD
A(3; -5; -2), B(-4; 2; 3), C(1; 5; 7), D(-2; -4; 5), грань ACD
A(7; 4; 9), B(1; -2; -3), C(-5; -3; 0), D(1; -3; 4), грань ABD
A(-4; -7; -3), B(-4; -5; 7), C(2; -3; 3), D(3; 2; 1), грань BCD
A(-4; -5; -3), B(3; 1; 2), C(5; 7; -6), D(6; -1; 5), грань ACD
A(5; 2; 4), B(-3; 5; -7), C(1; -5; 8), D(9; -3; 5), грань ABD
A(-6; 4; 5), B(5; -7; 3), C(4; 2; -8), D(2; 8; -3), грань ACD
A(5; 3; 6), B(-3; -4; 4), C(5; -6; 8), D(4; 0; -3), грань BCD
A(5; -4; 4), B(-4; -6; 5), C(3; 2; -7), D(3; -6; -3), грань ABD
A(-7; -6; -5), B(5; 1; -3), C(8; -4; 0), D(3; 4; -7), грань BCD
A(7; -1; -2), B(1; 7; 8), C(3; 7; 9), D(-3; -5; 2), грань ACD
A(5; 2; 7), B(7; -6; -9), C(-7; -6; 3), D(1; -5; 2), грань ABD
A(-2; -5; -1), B(-6; -7; 9), C(4; -5; 1), D(2; 1; 4), грань BCD
A(-6; -3; -5), B(5; 1; 7), C(3; 5; -1), D(4; -2; 9), грань ACD
A(7; 4; 2), B(-5; 3; -9), C(1; -5; 3), D(7; -9; 1), грань ABD
A(-8; 2; 7), B(3; -5; 9), C(2; 4; -6), D(4; 6; -5), грань ACD
A(-4; -4; 3), B(-2; -1; 1), C(2; -2; -1), D(-1; 3; -2), грань BCD
A(-3; -3; -3), B(2; -1; -3), C(-1; 2; -3), D(-2; -1; 1), грань ACD
A(3; 1; 1), B(1; 4; 1), C(1; 1; 6), D(3; 4; 9), грань ABD
A(4; 3; 10), B(5; 1; 5), C(2; 2; 5), D(-3; -4; 2), грань BCD
A(-3; -2; -4), B(-1; -4; -7), C(1; -2; 2), D(0; 3; 1), грань ACD

 

Задача №3. Довести, що задані вектори , , утворюють базис та знайти координати вектора у цьому базисі.

 
(5; 4; 1) (-3; 5; 2) (2; -1; 3) (7; 23; 4)
(2; -1; 4) (-3; 0; -2) (4; 5; -3) (0; 11; -14)
(-1; 1; 2) (2; -3; -5) (-6; 3; -1) (28; -19; -7)
(1; 3; 4) (-2; 5; 0) (3; -2; -4) (13; -5; -4)
(1; -1; 1) (-5; -3; 1) (2; -1; 0) (-15; -10; 5)
(3; 1; 2) (-7; -2; -4) (-4; 0; 3) (16; 6; 15)
(-3; 0; 1) (2; 7; -3) (-4; 3; 5) (-16; 33; 13)
(5; 1; 2) (-2; 1; -3) (4; -3; 5) (15; -15; 24)
(0; 2; -3) (4; -3; -2) (-5; -4; 0) (-19; -5; -4)
(3; -1; 2) (-2; 3; 1) (4; -5; -3) (-3; 2; -3)
(5; 3; 1) (-1; 2; -3) (3; -4; 2) (-9; 34; -20)
(3; 1; -3) (-2; 4; 1) (1; -2; 5) (1; 12; -20)
(6; 1; -3) (-3; 2; 1) (-1; -3; 4) (15; 6; -17)
(4; 2; 3) (-3; 1; -8) (2; -4; 5) (-12; 14; -3)
(-2; 1; 3) (3; -6; 2) (-5; -3; -1) (31; -6; 22)
(1; 3; 6) (-3; 4; -5) (1; -7; 2) (-2; 17; 5)
(7; 2; 1) (5; 1; -2) (-3; 4; 5) (26; 11; 1)
(3; 5; 4) (-2; 7; -5) (6; -2; 1) (6; -9; 22)
(5; 3; 2) (2; -5; 1) (-7; 4; -3) (36; 1; 15)
(11; 1; 2) (-3; 3; 4) (-4; -2; 7) (-5; 11; -15)
(9; 5; 3) (-3; 2; 1) (4; -7; 4) (-10; -13; 8)
(7; 2; 1) (3; -5; 6) (-4; 3; -4) (-1; 18; -16)
(1; 2; 3) (-5; 3; -1) (-6; 4; 5) (-4; 11; 20)
(-2; 5; 1) (3; 2; -7) (4; -3; 2) (-4; 22; -15)
(3; 1; 2) (-4; 3; -1) (2; 3; 4) (14; 14; 20)
(1; 2; 3) (2; -3; 1) (-1; 2; 1) (2; 2; 8)
(2; 3; 4) (4; 6; -1) (1; 2; -3) (4; 4; 1)
(2; 1; 3) (1; -1; -2) (-1; -3; 4) (0; 13; -15)
(2; 1; 1) (-3; 3; 0) (3; -3; 1) (-10; 13; 0)
(3; 1; 2) (4; 5; 3) (2; 2; 4) (8; 5; 3)

 


4. Тема “Рівняння прямої та площини у просторі”