Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Общий ориентир: в похожих случаях за нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.



Прерываем решение и проводим замену


В знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит только от , теперь осталось выяснить, во что превратится .
Для этого находим дифференциал :

Или, если короче:
Из полученного равенства по правилу пропорции выражаем нужное нам выражение:

Итак:

Теперь всё подынтегральное выражение у нас зависит только от и можно продолжать решение

Готово. Напоминаю, что цель замены – упростить подынтегральное выражение, в данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.

Я не случайно так подробно расписал этот пример, это сделано в целях повторения и закрепления материалов урока Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

А сейчас два примера для самостоятельного решения:

Пример 12

Найти неопределенный интеграл.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл.

Полные решения и ответы в конце урока.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл.

Здесь опять в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом (функция с производной), но уже в произведении, и возникает дилемма – что же обозначать за , синус или косинус?

Можно попытаться провести замену методом научного тыка, и, если ничего не получится, то обозначить за другую функцию, но есть:

Общий ориентир: за нужно обозначить ту функцию, которая, образно говоря, находится в «неудобном положении».

Мы видим, что в данном примере студент косинус «мучается» от степени, а синус – свободно так сидит, сам по себе.

Поэтому проведем замену:

Если у кого остались трудности с алгоритмом замены переменной и нахождением дифференциала , то следует вернуться к уроку Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример 15

Найти неопределенный интеграл.

Анализируем подынтегральную функцию, что нужно обозначить за ?
Вспоминаем наши ориентиры:
1) Функция, скорее всего, находится в знаменателе;
2) Функция находится в «неудобном положении».

Кстати, эти ориентиры справедливы не только для тригонометрических функций.

Под оба критерия (особенно под второй) подходит синус, поэтому напрашивается замена . В принципе, замену можно уже проводить, но сначала неплохо было бы разобраться, а что делать с ? Во-первых, «отщипываем» один косинус:

мы резервируем под наш «будущий» дифференциал

А выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества:

Вот теперь замена:

Готово.

 

Пример 19

Найти неопределенный интеграл.

Здесь перед применением универсальной тригонометрической подстановки необходимо понизить степени в знаменателе при помощи формул , . Попробуйте разобраться в данном примере самостоятельно, полное решение и ответ очень близко!

Пример 19: Решение:

Универсальная тригонометрическая подстановка:

 

24.Вопрос.Интегрирование простейших иррациональностей. Примеры.

Рассмотрим случаи, в которых замена переменных позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций, то есть рационализировать интеграл.

I. Интегралы вида рационализируются заменой переменной:

, где k – наименьшее общее кратное чисел m и n. (20)

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение:

.

II. В общем случае интегралы вида вычисляются заменой переменной:

(21)

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение: .

Раскладывая по методу неопределенных коэффициентов подынтегральную функцию получим следующий интеграл:

Поскольку полученный интеграл можно представить в виде:

.

III. В общем случае интегралы вида вычисляются заменой переменной:

(22)

Пример 8. Вычислить интеграл .

Решение:

Раскладывая по методу неопределенных коэффициентов подынтегральную функцию получаем:

.

Поскольку , полученный интеграл можно записать в виде:

.

IV. В общем случае интегралы вида вычисляются заменой переменной:

или (23)

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение:

 

 

25.Вопрос.Понятие определённого интеграла. Геометрический и физический смысл определённого интеграла.

Таблица интегралов, таблица неопределенных интегралов

У всех школьников и студентов возникают проблемы с интегралами. У нас на сайт Вы найдете уникальную таблицу интегралов. В нашей таблице интегралов мы постарались собрать самое полное собрание формул, которое поможет Вам решить любой интеграл. Неизменными спутниками таблицы интегралов являются - таблица производных и формулы производных , которые также в полном виде представлена у нас на сайте. Читайте наш сайт и учиться Вам станет на много проще!

Основные формулы

 

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F(b) - F(a)).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

(38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F(x) + C. Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее - значение нижнего предела a и вычисляется разностьF(b) - F(a). Полученное число и будет определённым интегралом..

При a = b по определению принимается

Для того чтобы потренироваться в нахождении определённых интегралов, потребуется таблица основных неопределённых интегралов и пособие "Действия со степенями и корнями".

Пример 1.Вычислить определённый интеграл

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Проверить решение можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайнВ полученную в результате вычисления первообразную подставьте сначала значение верхнего предела, затем значение нижнего предела и найдите разницу. Полученное число и будет определённым интегралом.

Пример 2.Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

получим

Проверить решение можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайнВ полученную в результате вычисления первообразную подставьте сначала значение верхнего предела, затем значение нижнего предела и найдите разницу. Полученное число и будет определённым интегралом.