Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Основные операции над матрицами и их свойства.



Определение. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

1. Сложение матриц (только одинаковых порядков).

A= ; i= ; j= ;

B= ; i= ; j= ;

Суммой матриц А и Вназывается матрица C= , имеющая те же порядки, что и слагаемые матрицы, элементы которой :

= + , i= , j= .

+ = .

Из определения операции сложения матриц следует, что она обладает свойствами операций сложения вещественных чисел:

1) A+B=B+A-коммутативность

2) (A+B)+C=A+(C+B) – ассоциативность

2. Умножение матриц на число.

Пусть l -вещественное число.

A= ; i= ; j= ;

Произведением матрицы A на число l называется матрица C= ; i= ; j= , элементы которой: C=lA=Al

Свойства операции умножения на число:

1). (λµ)А = λ(µА) – ассоциативность по отношению к вещественному множителю.

2). λ(А+В) = λА+λВ – дистрибутивность по отношению к сложению матриц.

3). (λ+µ)А = λА+µА – дистрибутивность по отношению к сложению чисел.

3. Разность матриц А и В вводится следующим образом:

С = А – В = А + (-1)В,

т. е. используя уже определенные операции сложения и умножения на число.

4. Перемножение матриц.

Пусть А = ║aij║, (m×k)

B = ║bij║ , (k×n)

Определение. Две матрицы называются сцепленными, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Операция перемножения определена только для сцепленных матриц.

Определение. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица

C = ║cij║ , (m×n), элементы которой определяются следующим образом: Cij= . Обозначение: С=АВ

Правило перемножения матриц: элемент cij , стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы С, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

Оба произведения АВ и ВА можно определить лишь в том случае, если число столбцов А совпадает с числом строк В, а число столбцов В – с числом строк А. При этом обе матрицы-произведения С1 и С2 будут квадратными, но различного порядка.

Для того, чтобы оба произведения имели один порядок, необходимо и достаточно, чтобы матрицы А и В были квадратными одного порядка.

Пример:

А= В = С=АВ= =

Из определения произведения матриц вытекает следующие свойства произведения матриц:

1. (АВ)С=А(ВС) -- ассоциативность

2. (А+В)С=АС+ВС или А(В+С)=АВ+АС дистрибутивностьотносительно сложения матриц

(Это свойство вытекает из определения и из формулы сложения)

3. В общем случае АВ≠ВА, умножение матриц не коммутативно.

Произведение матриц не коммутативно и для квадратных матриц одного порядка:

, а

Но есть частные случаи, когда произведение матриц коммутативно.

Среди квадратных матриц выделим класс диагональных матриц (все элементы вне главной диагонали равны нулю).

Если все di=d, то для любой квадратной матрицы А порядка n : АD=DA

Доказательство: Пусть Cij и Cij/ - элементы матриц АD и DA => Cij=aij∙dj=aij∙d, Cij/=di∙aij=daij =>

=> Cij= Cij/

d=1 – единичная матрица ≡ Е (аналог единицы при перемножении вещественных чисел)

d=0 – нулевая матрица ≡ О (нулевая матрица может быть и не квадратной)

АЕ=ЕА АО=ОА.

Определители

Квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителем.

Определение: Пусть дана квадратная матрица из четырех чисел.

.

Число а1b2 - а2b1 называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице.

Обозначается :

Числа а1, а2, b1, b2 называются элементами определителя.

Элементы а1, b2 лежат на главной диагонали определителя, а элементы а2, b1 - на побочной диагонали.

а1 и а2 – элементы первой строки.

b1 и b2 - элементы второй строки.

а1 и b1 - элементы первого столбца.

а2 и b2 – элементы второго столбца.

Пусть дана квадратная матрица из девяти чисел: a11 a12 … a33 :

А=

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число = = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

- a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 .

Число aij называется элементом определения, при этом первый индекс – i – указывает номер строки, а второй – j - номер столбца, которым принадлежит данный элемент. Говорят, также, что элемент aij находится на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Элементы a11 a22 a33 – образуют главную диагональ определителя, а a13 a22 a31 – побочную диагональ.

Правила вычисления определителя 3-го порядка:

1. Правило Саррюса:

Нужно взять сумму произведений трех элементов, зачеркнутых прямыми. При этом три произведения, соответствующие прямым, параллельным главной диагонали, берутся со знаком (+), а три произведения, соответствующих прямым, параллельным побочной диагонали, берутся со знаком (-).

2. Номера строк располагаются в порядке возрастания превого индекса, а номера столбцов – перестановки чисел 123:

123, 231, 312 | 321, 132, 213.

3. Правило треугольника.

(со знаком +) (со знаком -)

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a23 a32 a11 – a33 a12 a21