Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Определители n-го порядка



Определение. Определителем n-го порядка называется число, записываемое в виде:

Вычисляется как сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения, т.е. вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей порядка (n-1).

Все перечисленные выше свойства относятся к определителям любого порядка (также определение минора и алгебраического дополнения).

Ранг матрицы.

Определение. Пусть А – некоторая матрица. Выделим в ней произвольно k строк и k столбцов. Определитель k-того порядка, составленный из элементов, находящихся на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-того порядка матрицы А. Пир этом строки и столбцы этого определителя должны быть расположены относительно друг друга в том же порядке, что и в матрице.

Каждый элемент матрицы будем рассматривать как её минор первого порядка.

Пример. Составить всевозможные миноры третьего порядка матрицы

и какой-нибудь минор второго порядка.

Решение. Для получения миноров третьего порядка надо выделить все три строки матрицы и какие-нибудь три её столбца. Таких миноров будет четыре:

Выделим теперь в той же матрице первую и третью строки и второй и третий столбцы. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют минор второго порядка рассматриваемой матрицы:

Рангом матрицы назовём наивысший порядок её минора, отличного от нуля.

Другими словами, целое число r > 0 называется рангом матрицы, если среди миноров r-того порядка этой матрицы есть хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю.

Пример. В предыдущем примере миноров порядка выше третьего данная матрица не имеет, все миноры третьего порядка равны нулю, а минор М второго порядка отличен от нуля. Поэтому ранг её равен двум: r (A)=rang A=2.

Вычисление ранга матрицы непосредственно по его определению, вообще говоря, громоздко так как приходится вычислять большое число миноров. Рассмотрим другой способ, основанный на приведении матрицы к ступенчатому виду.

Матрицу А называют ступенчатой, если:

а) любая её строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент;

б) первый отличный от нуля элемент каждой её строки, начиная со второй, расположен правее неравного нулю элемента предыдущей строки.

Пример. Матрицы

и

являются ступенчатыми (или имеют ступенчатый вид), а матрицы

ступенчатыми не являются.

Назовём элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования её строк:

1) перестановку двух каких-нибудь строк;

2) умножение элементов какой-нибудь строки на чисо, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам какой-нибудь строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое (одно и тоже) число.

Поясним эти преобразования примером:

Способ вычисления ранга произвольной матрицы будет вытекать непосредственно из следующих утверждений:

1). При элементарных преобразованиях и отбрасывании нулевой строки (т. е. строки, у которой все элементы равны нулю) ранг матрицы не изменяется.

2). Всякую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и выбрасывания нулевых строк.

3). Ранг ненулевой матрицы равен числу строк ее ступенчатого вида.

Пример. Вычислить ранг матрицы А путём приведения её к ступенчатому виду.

Проведём следующие элементарные преобразования:

.

Отсюда видно (так как ), что ранг данной матрицы А равен двум.

Обратная матрица

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка.

E – единичная матрица того же порядка .

Матрица B называется правой обратной к A, если AB = E

Матрица С называется левой обратной к A, если CA = E

Очевидно, что матрицы B и C – тоже квадратные. Покажем, что если B и C существуют, то они совпадают между собой.

AB = E CA = E

C = CE = C(AB) = (CA)B = EB = B

Теорема. Для того, чтобы к матрице A существовали левая и правая обратные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы и ).

Определение: Квадратная матрица , определитель которой отличен от нуля, называется невыроженной.

Если - обратная к и - обратная к , обозначим =