Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.



Пусть функция определена и непрерывна на промежутке [a; b]. Для наглядности будем считать, что она неотрицательна.

Замечание: для введения понятия определенного интеграла требования непрерывности и неотрицательности не является обязательным.

Разобьем промежуток [a; b] точками на l отрезков .

Обозначим через длину отрезка номер i .

На каждом отрезке выбираем точку .

Точка на отрезке выбирается произвольно. После этого на каждом отрезке, как на основании, построим прямоугольник высотой .

Определение: интегральной суммой Sn называется следующая величина: .

Если для функции выполнены условия неотрицательности и непрерывности, тот интегральная сумма Sn имеет смысл площади изображенной ступенчатой фигуры.

Определение: определенным интегралом функции по промежутку [a; b] называется предел интегральных сумм, вычисленный при условии стремления к нулю длины наибольшего из отрезков на которые разбит промежуток [a; b], если этот предел существует независимо от способа разбиения отрезка [a; b] на мелкие отрезки и независимо от способа выбора точек ξi, т.е. .

Площадь ступенчатой фигуры при условии будет стремиться к площади криволинейной трапеции под графиком . Поэтому можно сказать: геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он равен площади криволинейной трапеции.

 

 

Если функция меняет знак на промежутке [a; b],тот определенный интеграл вычисляется следующим образом:

Определенный интеграл существует и от функций с разрывами. Можно доказать, что если функция имеет на промежутке [a; b] только разрывы первого рода и их счётное количество, то от этой функции существует определенный интеграл по промежутку [a; b].