Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Однородные дифференциальные уравнения.



Определение: однородной функцией степени n называется функция , обладающая следующим свойством: .

Пример:

1) .

2) .

Определение: однородными дифференциальными уравнениями будем называть дифференциальные уравнения следующего вида: , где и - это однородные функции одинаковой степени.

Отношение двух однородных функций одинаковой степени всегда можно представить в виде функции, зависящей от , т.е. .

Для этого достаточно разделить функцию и функцию на , где n – степень однородной функции. Тогда однородное уравнение принимает вид: . Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой переменной U, которая выводится равенством y = Ux, производная при этом . Получаем уравнение: .

Пример: найти общее решение дифференциального уравнения .

Возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

Замечание: иногда удобнее вводить другую переменную в однородных уравнениях, а именно считать независимой переменной у, зависимой переменной х и новую переменную вводить равенством , а производную равенством (функцию U рассматривать как функцию ).

Уравнения вида сводятся к однородным в тех случаях, когда определитель . В этом случае от переменных х и у переходят к новым переменным U и V по формулам: , где числа α и β находятся из решения системы:

.

Если определитель , то вводя новую переменную вместо у, получим относительно U уравнение с разделяющимися переменными.

Пример:

Найти общее решение уравнения: .

получили однородное уравнение, которое решается заменой:

 

Это уравнение с разделяющимися переменными.