Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Несупярэчнасць тэорыі Ar



У сказе 10 мы ўстанавілі, што формула ùС(p) недаказальная, хаця сказ Т(p, p, x), які адпавядае ùС(p) у стандартнай інтэрпрэтацыі, праўдзівы.

Высветлім пытанне аб прычыне недаказальнасці формулы ùС(p): якая частка доказу праўдзівасці сказа Т(p, p, x) выводзіць нас за межы дэдуктыўных магчымасцей тэорыі Ar. Даказваючы сцвярджэнне Т(p, p, x) мы выкарысталі сцвярджэнне (3)

калі ùС(a), то Т(a, a, x) = П пры любым a (3).

Але (3) можна атрымаць з азначэння простай несупярэчнасці, як і наадварот.

Азначэнне 11. Фармальная аксіяматычная тэорыя Т называецца проста несупярэчнай, калі ні для адной формулы Е, запісанай на мове гэтай тэорыі, немагчыма: Е і ùЕ.

Сказ 11. Тэорыя Ar несупярэчная.

Няхай далей згодна з умовай (3) ùС(a). З несупярэчнасці Ar маем С(a), адкуль з улікам (1) па контрапазіцыі маем, што ЕxТ(a, a, x) = П не выконваецца ЕxТ(a, a, x) = Н, адкуль Т(a, a, x) = П.

Значыць,

калі ùС(a), то Т(a, a, x) = П, г.зн. мае месца (3).

ІІ. Няхай цяпер справядліва сцвярджэнне (3). Няхай умова (3) выконваецца, г.зн. ùС(a), тады па (3) атрымаем, што Т(a, a, x) = П, адкуль ЕxТ(a, a, x) = Н, адкуль з улікам (2) па контрапазіцыі атрымаем С(a).

Такім чынам, калі ùС(a), то С(a) (*), таму Ar – несупярэчная, тады знойдзецца формула Е, такая, што Е і ùЕ, адкуль, з улікам Е, ùЕ, А, атрымаем, што С(a), што супярэчыць (*).

Такім чынам, устаноўлена, што сказ 10 даказаны пры ўмове простай несупярэчнасці Ar, іншымі словамі, мае месца

Сказ 10¢. Калі Ar несупярэчная, то яна няпоўная і ùС(p) – праўдзівы неразвязальны сказ Ar.

Звернем цяпер увагу на наступную частку 10¢:

калі Ar проста несупярэчная, то Т(p, p, x) = П (5)

Знойдзем формулу, якая фармалізуе ў Ar сказ (5). Няхай a – які-небудзь натуральны лік і mr ніколі не спыніцца, таму доказу формулы Е Ù ùЕ не існуе, Е Ù ùЕ – недаказальная і таму Ar – несупярэчная.

Такім чынам,

Ar – проста несупярэчная раўназначна Т(r, a, x) = П для любога a, і ў прыватнасці, раўназначна Т(r, r, x) = П, але сказ Т(r, r, x) у Ar выражаецца формулай C(r), якой дадзім імя consis[consistant – сумяшчальны].

Такім чынам сцвярджэнню (5) у Ar адпавядае формула consis É ùС(p).

Сказ 12. Формула consis недаказальная ў Ar, карацей consis. (1931 год)

Доказ. Паколькі сцвярджэнне (5) даказана ў змястоўнай арыфметыцы натуральных лікаў, г.зн. з’яўляецца праўдзівым, то па пункту (б) азначэння 8 атрымаем consis É ùС(p). (6)

Дапусцім цяпер, што consis. Тады па ВІ атрымаем: ùС(p), што супярэчыць сказу 10¢. Сказ 12 выражае другую тэарэму Гёдэля.

Такім чынам, згодна з другой тэарэмай, нельга даказаць несупярэчнасць тэорыі Ar, калі выкарыстоўваць толькі тыя дэдуктыўныя сродкі, якія ёсць у самой Ar. Пазней былі знойдзены розныя доказы несупярэчнасці Ar (Генцэн, 1936, Акерман, 1940), але з выкарыстаннем метадаў, якія не могуць быць фармалізаваныя ў Ar.