Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

ТЕМА 4.2. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ



ТЕМА 4.1. ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИЙ

Определение. Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2 из этого интервала, для которых x1 <x2, верно неравенство f(x1) < f(x2).

Определение. Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2 из этого интервала, для которых x1 < x2, верно неравенство f(x1) > f(x2).

Необходимое условие возрастания функции. Если функция y = f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a, b), то f′(x) ≥ 0 для всех x из этого интервала.

Необходимое условие убывания функции. Если функция y = f(x) дифференцируема и убывает на интервале (a, b), то f′(x) ≤ 0 для всех x из этого интервала.

Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Если во всех точках этого интервала f′(x) > 0, то функция возрастает на этом интервале, а если f′(x) < 0, то функция убывает на этом интервале.

 

Пример 1

Определить поведение функции y = – x2 + 5x – 3 при х = – 1.

План решения

1. Найти y'.

2. Определить знак y' в точке х = – 1. Для этого вместо x в y' подставить – 1.

3. Сделать вывод: если y'(– 1) > 0, то в точке м функция возрастает, если y'(– 1) < 0, то в точке х = – 1 функция убывает.


 

Решение Комментарий
y' = (– x2 + 5x – 3)' = – 2x + 5. y'(– 1) = – 2(– 1) + 5 = 2 + 5 = 7 > 0. Следовательно, в точке х = – 1 функция возрастает. Использовать формулы: (xn)' = nxn 1; (Cx)' = C, C = const; C' = 0.

Пример 2

Найти промежутки возрастания или убывания функции y = 3x2 – 9x + 2.

План решения

1. Найти область определения функции.

2. Найти y'.

3. Найти критические точки x1, x2 и т.д., т.е. точки области определения, в которых y' = 0. Нанести эти точки на числовую прямую. Получится несколько интервалов.

4. Определить знак y' в каждом полученном интервале и сделать вывод:

1. Область определения: D(y): (– ∞; + ∞), т.к. функция представляет собой многочлен. 2. y' = (3x2 – 9x + 2)' = 6x – 9. 3. y' = 0 при 6x – 9 = 0, . Функция возрастает при x>1,5 и убывает при x<1,5 . Использовать формулы: (xn)' = nxn 1; (Cx)' = C, C = const; C' = 0.     Для определения знака y' в каждом интервале необходимо взять числа из каждого интервала и подставить в уравнение производной.

ТЕМА 4.2. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Определение. Число f(x0) называется наибольшим значением функции на отрезке [a, b], если для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0); число называется наименьшим значением функции на отрезке (a, b), если для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0).

Функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение в точках экстремума или на границе. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке руководствуются следующим правилом: находят все критические точки функции (производная равна нулю), лежащие внутри отрезка, и находят значения функции в этих точках и на концах отрезка. Наибольшее из этих значений будет наибольшим, а наименьшее из этих значений — наименьшим значением функции на отрезке.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значение функции:

f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 5 на отрезке [0; 3].

Решение. Находим f′(x) = 6x2 – 18x + 12 = 0 и приравниваем к нулю: 6x2 – 18x + 12 = 0 или x2 – 3x + 2 = 0.

Решая уравнение, находим критические точки x1 = 1; x2 = 2, причем обе лежат внутри отрезка.

Находим значение функции f(0) = – 5; f(1) = 0; f(2) = – 1; f(3) = 4. Наибольшее значение равно 4, а наименьшее – 5.