Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Экстремумы и условия его существования



Определение Точка х0называется точкой максимума (минимума) функции y = f(x), если существует интервал, содержащий точку х0, такой, что для всехх из этого интервала имеет место неравенство f(x0) ≥ f(x), f(x0) ≤ f(x). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие существования экстремума: в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f'(x) = 0), либо не существует.

Первое достаточное условие существования экстремума: если в точке х0 функция y = f(x) непрерывна, а производная f'(x) при переходе через точку х0меняет знак, то точка х0 — точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «–», и минимума, если с «–» на «+».

Если при переходе через точку х0 производная не меняет знак, то в точке х0 экстремума нет.

Второе достаточное условие существования экстремума: если в точке х0 f'(x0) = 0, a f"(x0) > 0, то х0 является точкой максимума функции. Если f'(x0) = 0, a f"(x0) < 0, то х0 является точкой минимума функции.

Схема исследования функции y = f(x) на экстремум:

1) найти производную y' = f'(x);

2) найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует;

3) исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции;

4) найти экстремальные значения функции.

При исследовании функции на экстремум с помощью 2-го достаточного условия п. 1), 2), 4)сохраняются, а в п. 3)необходимо найти вторую производную f"(x)и определить ее знак в каждой критической точке.


Экстремальная задача: найти наибольшее и наименьшее значение (глобальный максимум и минимум)функции y = f(x) на отрезке [a, b]

Это означает - выбрать наибольшее (наименьшее) из значений функции в критических точках, находящихся в интервале (a, b) и на концах отрезка (в точках а и b).

Если дифференцируемая на интервале (a, b)функция y = f(x) имеет единственную точку экстремума, то в этой точке достигается наибольшее или наименьшее значение (глобальный максимум или минимум) функции на интервале (a, b).

Пример 5.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Решение

В соответствии со схемой исследования (п. 6) найдем

у' = 2х2 –5х +2.

Очевидно, производная существует при всех значениях х. Приравнивая у' к нулю, получаем уравнение

2х2– 5х + 2 = 0,

Откудач x1=0,5 и x2 =2 — критические точки. Знаки производной имеют вид (рис.1):

Рис. 1

На интервалах (-∞; 0,5) и (2; +∞) производная f′(x) > 0 и функция возрастает, на интервале (0,5; 2) f′(x) < 0 и функция убывает; x = 0,5 — точка максимума и x = 2 — точка минимума и так как при переходе через эти точки производная меняет свой знак соответственно с«+» на «–» и с «–» на «+».

Замечание.

Установить существование экстремума в критических точках и x = 2,в которых f′(x) = 0 можно было и с помощью второй производной f"(x) = 4x – 5 (см. п. 5). Так как а f"(2) = 3 > 0, то — точка максимума, а х = 2 — точка минимума.

График данной функции схематично показан на рис. 2. ►

Рис. 2

Пример 6Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

y = (xlnxx)2.

Решение

Производная существует во всех точках, в которых существует и сама функция, т.е. при х > 0. Точки, в которых производная обращается в нуль, задаются равенствами lnх = 0, lnx – 1 = 0, откуда x1 = 1, x2 = e — критические точки. Знаки производной указаны на рис. 3.

Рис. 3

Таким образом, функция монотонно возрастает на промежутках (0; 1) и (е; +оо) и монотонно убывает на промежутке (1; e). Точка х = 1 — точка максимума и fmax(1) = 1, точка х = e — точка минимума и fmin (е) = 0

. ►

Рис. 4

Пример 7 Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

Решение

Производная не существует при cosx = 1, т.е. при x = 2πn и равна нулю при x = π + 2πn. Знак производной совпадает со знаком sinx; таким образом у' > 0 при 2πk < х < π + 2пk и у' < 0 при –π + 2пk < x < 2пk. Это, соответственно, интервалы возрастания и убывания функции. x = π + 2пk — точки максимума x = 2пk — точки минимума fmin(2пk) = 0. ►

Рис. 5

Пример 8Найти наибольшее значение (глобальный максимум) функции

на интервале (10; 18).

Решение

Найдем

На интервале (10; 18) имеется всего одна критическая точка х = 16. Производная при переходе через эту точку меняет знак с «+» на «–», т.е. х = 16 — точка максимума. Следовательно, функция достигает наибольшего значения при х = 16, т.е. fнаиб =fmax(16) = –16. (Заметим, что наименьшего значения (глобального минимума) данной функции на указанном интервале не существует.)

 

Рис. 6

Пример 9 Забором длиной 24 м требуется огородить с трех сторон прямоугольный палисадник наибольшей площади. Найти размеры палисадника.

Решение

Пусть длины сторон палисадника х, у.Тогда 2х + у = 24, т.е. у = 24 – 2х.Площадь палисадника S = xy = x(24 – 2x) = 24x – 2x2, где 0 < x < 12 (ибо 24 – 2x > 0). Таким образом, задача свелась к отысканию значения х,при котором S(x) принимает наибольшее значение на интервале (0; 12). Найдем S'(x) = 24 – 4х = 0 при х = 6. Легко видеть, что х = 6— единственная точка экстремума — максимума функции S(x). Это означает, что на интервале (0; 12) S(x)принимает наибольшее значение при х = 6, т.е. искомые размеры палисадника 6 м и 24 – 2 – 6 = 12 м. ►