Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

План исследования функции



Если требуется построить график функции y = f(x), то надо предварительно исследовать эту функцию. Для исследования рекомендуется следующий план:

1) найти область определения D(f);

2) найти точки разрыва, вертикальные асимптоты;

3) найти асимптоты;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) определить четность (f(–x) = f(x)) или нечетность (f(–x) = –f(x)), т.е. является ли график этой функции симметричным относительно оси ординат, или начала координат, или же такой симметрии нет;

6) найти экстремумы, интервалы возрастания и убывания;

7) найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. На основании этого исследования строится график функции.

Если в каких-то местах ход графика остается неясным, то находят дополнительные точки на этом графике.

Пример 12. Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение. Исследуем функцию по рекомендованному плану.

1. D(f): (–¥; –1) È (–1; ¥).

2. Точка разрыва x = –1, вертикальная асимптота x = –1.

3. Найдем невертикальную асимптоту y = kx + b.

 

Итак, уравнение невертикальной асимптоты

y = x + 1.

4. При x = 0 находим точку пересечения с осью ординат y = 2. При y = 0 получаем уравнение x2 + 2x + 2 = 0. Это уравнение не имеет решений (D < 0), следовательно, график не имеет пересечения с осью абсцисс.


5. Проверим, является ли функция четной или нечетной.

Функция не является ни четной, ни нечетной, поэтому у ее графика нет симметрии ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

6. Найдем точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

 

 

Найдем критические точки, приравняв производную нулю:

Критические точки x = 0 и x = –2. Эти точки разбивают область определения функции на четыре интервала.


Рассмотрим результат исследования в таблице.

х (–¥; –2) –2 (–2; –1) (–1; 0) (0; +¥)
y' + +
y возрастает max убывает убывает min возрастает

7. Определим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

 

так, y''не обращается в нуль ни в одной точке, следовательно, точек перегиба нет. Построим таблицу:

х (–¥; –1) (–1; +¥)
y' +
y Ç È

Занесем все данные в одну общую таблицу:

х (–¥; –2) –2 (–2; –1) (–1; 0) (–1; +¥)
y' + +
y'' + +
y Возрастает Ç max –2 Убывает Ç Убывает È min 2 возрастает È

 


Учитывая проведенное исследование, построим график: