Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Определение. Число называется пределом последовательности , если: , такое, что выполняется: .



(для любого числа эпсилон больше нуля, существует такой номер элемента последовательности, что для всех последующих номеров отклонение элементов от числа А меньше, чем эпсилон). В этом случае говорится, что последовательность стремится к числу А.

 

Обозначение предела: . (lim это от английского слова limit которое хорошо известно и в русском языке - лимиты потребления света, воды и т.д. ).

Если рассмотреть полосу от до по высоте, то начиная с какого-то номера, все последующие точки будут попадать в эту полосу:

Чем меньше число (погрешность меньше) тем больший номер требуется .

Пример. . По определению: если например требуемая точность то , выполняется: разность элемента и 0 менее 1/100, то есть 1/101 затем 1/102 и т.д.

 

* Для того, чтобы лучше понять, что такое предел, представьте следующее. Машина приближается к городу. Для любого заранее заданного расстояния (например = 10 км.) существует такой момент времени , что в последующие моменты времени расстояние будет меньше, чем . Это как раз и означает «стремится к 0», то есть расстояние уменьшается к 0. Если задать = 5 км. то это достигается в более поздний момент времени, а если = 1 км. то ещё позже.

 

Предел может и не существовать. Для последовательности , например, предел не существует. Здесь не происходит стабилизация значений, то есть их колебания по высоте всегда 1. После каждого номера, найдётся последующий элемент, который удаляется на расстояние 1 от предыдущего, то есть эти колебания не могут быть меньше заранее заданного малого числа .

 

Рассмотрим последовательность

Вычислим предел. = = . Второе слагаемое в знаменателе стремится к 0. В итоге, , =1.

Таким же методом можно сокращать старшие степени и в других случаях, для произвольных степеней.

= = .

В общем случае, когда степени разные: = .

Пример. Вычислить предел

Решение.Здесь неопределённость типа . Сократим на :

= = .

Пример. Вычислить предел .

Комментарий. В выражениях с неопределённостью типа ответ не виден из самого выражения. Так, если 2 объекта от нас удаляются в бесконечность, то при этом расстояние между ними может уменьшаться, может стабилизироваться на каком-то уровне, а может возрастать. Например, для оба слагаемых стремятся к бесконечности, но и разность между ними тоже увеличивается неограниченно. А в разности оба слагаемых увеличиваются, но разность стабильна и равна 1. Поэтому при решении таких примеров снаала нужны преобразования, приводящие к виду дроби, а там уже можно сократить на какой-то множитель.

Итак, умножим на сопряжённое выражение, то есть на сумму, подобную этой разности. Тогда можно будет применить формулу сокращённого умножения, и корень исчезнет, так как он будет возведён в квадрат.

= = = =

В знаменателе содержится n и выражение, содержащее корень из 2 степени, которое по скорости роста сопоставимо с n. Сократим числитель и знаменатель на n.

= = = . Чтобы разделить корень, удобно факт деления на n представили как деление на корень из n2, продолжим:

= = .

 

Вычислительный эксперимент. Чтобы луше понять понятие предела, можете вычислить выражение например, при n = 100, n = 1000 на калькуляторе. Чем больше n тем ближе к 0,5 ответ получится.

n = 100 результат 0,49876. Отклонение от 1/2 составило 0,00124.

n = 1000 результат 0,49988. Отклонение от 1/2 составило 0,00012.

 

 

Теорема 1. Пусть дано 3 последовательности, причём для любого номера n: . Если , .

Доказательство. Так как для первой и третьей последовательности предел равен А, то числа (начиная с какого-то номера) отклоняются от не больше чем на величину , то есть принадлежат интервалу . Но число находится между ними, тогда оно тоже принадлежит . Тогда по определению, для средней последовательности тоже существует предел.

 

Теорема 2. Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

 

Примеры нарушения одного из этих двух условий.

не ограничена, предел .

не монотонна. Пределом не может быть ни одно из чисел 0 или 1. Здесь после любого элемента, среди последующих есть какой-либо, удалённый от данного на расстояние 1, то есть в определении предела было бы не «для любого », а только для >1. Колебания по высоте не уменьшаются, все последующие элементы не впишутся в узкую полосу ширины .