Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Общие сведения о случайных функциях и процессах.



Ответ:До сих пор основным предметом исследования были случайные величины. На практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Случайные величины, изменяющиеся в процессе опыта, мы будем в отличие от обычных случайных величин называть случайными функциями. Изучением подобных случайных явлений, в которых случайность проявляется в форме процесса, занимается специальная отрасль теории вероятностей – теория случайных функций. Эту науку можно образно назвать «динамикой случайных явлений». Теория случайных функций – раздел теорий вероятностей, развивавшийся в основном в 40-е – 60-е годы прошлого столетия. В настоящее время эта теория развивается и совершенствуется весьма быстрыми темпами. Это связано с непосредственными требованиями практики, в частности, с необходимостью решения ряда технических задач. Известно, что за последнее время в технике все большее распространение получают системы с автоматизированным управлением. Соответственно все большие требования предъявляются к теоретической базе этого вида техники – к теории автоматического управления. Развитие этой теории невозможно без анализа ошибок, неизбежно сопровождающих процессы управления, которые всегда протекают в условиях непрерывно воздействующих случайных возмущений (так называемых «помех»). Эти возмущения по своей природе являются случайными функциями. Для того чтобы рационально выбрать конструктивные параметры системы управления, необходимо изучить ее реакцию на непрерывно воздействующие случайные возмущения, а единственным аппаратом, пригодным для такого исследования, является аппарат теории случайных функций. Первым из основных понятий, с которыми нам придется иметь дело, является понятиеслучайной функции. Случайной функциейназывается функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее – какой именно. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Если над случайной функцией произвести группу опытов, то мы получим группу или «семейство» реализаций этой функции. Приведем несколько примеров случайных функций. Примерами случайных функций в энергетике, связанными с метеорологическими условиями, могут быть: изменение располагаемой мощности и энергии гидростанций, зависящие от приточности рек; изменения суммарного спроса мощности и энергии в энергосистемах, зависящие как от изменения температуры наружного воздуха, так и от других факторов; отклонение напряжений в узлах нагрузок, зависящие от различных потребителей, так и от режима системы и времени. Число примеров случайных функций, встречающихся в технике, можно было бы неограниченно увеличивать. Действительно, в любом случае, когда мы имеем дело с непрерывно работающей системой (системой измерения, управления, регулирования), при анализе точности работы этой системы нам приходится учитывать наличие случайных воздействий (помех). Как сами помехи, так и вызванная ими реакция системы представляют собой случайные функции времени.

До сих пор мы говорили только о случайных функциях, аргументом которых является время t. В ряде задач практики встречаются случайные функции, зависящие не от времени, а от других аргументов. Например, характеристики прочности неоднородного стержня могут рассматриваться как случайные функции абсциссы сечения х. Температура воздуха в различных слоях атмосферы может рассматриваться как случайная функция высоты Н. На практике встречаются также случайные функции, зависящие не от одного аргумента, а от нескольких. Например, аэрологические данные, характеризующие состояние атмосферы (температура, давление, ветер), представляют собой в общем случае случайные функции четырех аргументов: трех координат х, у, z и времени t. Будем рассматривать только случайные функции одного аргумента. Так как этим аргументом чаще всего является время, будем обозначать его буквой t. Кроме того, условимся, как правило, обозначать случайные функции большими буквами в отличие от неслучайных функций . Рассмотрим некоторую случайную функцию X(t). Предположим, что над ней произведено п независимых опытов, в результате которых получено п реализаций (рис. 5.1). Обозначим их соответственно номеру опыта . Каждая реализация, очевидно, есть обычная (неслучайная), функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция X(t)превращается в обычную, неслучайнуюфункцию. Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента t и посмотрим, во что превратится при этом случайная функция X(t). Очевидно, она превратится в случайную величинув обычном смысле слова. Условимся называть эту случайную величину сечением случайной функции,соответствующим данному t. Если провести «сечение» семейства реализаций при данном t (рис. 5.1), мы получим п значений, принятых случайной величиной X(tп опытах.

 

Рис. 5.1

Мы видим, что случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента, она превращается в обычную случайную величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную) функцию.