Сферические функции

VII. Аналитическое представление пространственных полей

Понятие ортогональности и нормированности

Две функции φ₁(x), φ₂(x) называются ортогональными на интервале [a, b] при выполнении следующего равенства

. (7.1)

Функция φ(x) называется нормированной, если выполняется следующее равенство

. (7.2)

Можно рассмотреть систему ортогональных функций φ_m(x), φ_n(x), для них справедливо условие

при m≠n. (7.3)

Для ортонормированных функций справедливо следующее выражение

. (7.4)

Сферические функции

При описании атмосферных процессов, протекающих на Земле, обычно используют сферические координаты. В этом случае исходные поля метеорологических функций удобно представлять в виде разложения в ряды по сферическим функциям.

, (7.5)

где φ_m,n – коэффициенты разложения, подлежащие отысканию при решении задачи аппроксимации, – сферическая функция порядка m, степени n, λ – долгота, θ – полярный угол. Сферические функции являются ортогональными функциями.

Сферические функции представляют линейно-независимые решения уравнения Гельмгольца

, (7.6)

где – Лапласиан,

a – радиус Земли.

Сферические функции выражаются через другие ортогональные функции

, (7.7)

– нормированные присоединенные функции (полиномы) Лежандра степени n, порядка m, можно использовать Гауссову широту x = cos θ.

Перейдем от показательной функции к тригонометрическим, тогда

, (7.8)

. (7.9)

Формулу (7.5) можно представить в виде

, (7.10)

где A_n,m, B_n,m – коэффициенты разложения.

Рассмотрим свойства присоединенных полиномов Лежандра.

1. Если порядок m = 0, то получим P_n(x) – так называемый полином Лежандра, который является решением уравнения

, (7.11)

Аналитическое выражение функции Лежандра степени n записывается в виде

, (7.12)

откуда P₀(x)=1, P₁(x)=x, P₂(x)=0,5(3х²-1), P₃(x)=0,5(5х³-3х) и т.д.

Выражение (7.12) носит название формулы Родрига. Из нее следует, что функция Лежандра является полиномом n - й степени от х.

Полином Лежандра образует систему ортогональных функций на отрезке -1÷ +1, т.е.

(7.13)

Для полиномов Лежандра соседних степеней n–1, n, n+1, существует рекуррентная формула

. (7.14)

2. Если порядок полинома m > 0, то присоединенная функция Лежандра является решением уравнения

(7.15)

и связана с полиномом Лежандра зависимостью

. (7.16)

Из последнего равенства видно, что при четном m, поскольку многочлен

является полиномом m - й степени, а производная

полиномом (n– m) - й степени, присоединенная функция Лежандра есть полином степени n от аргумента х.

Система присоединенных полиномов Лежандра является ортогональной на отрезке -1÷ +1, т.е. для нее существует соотношение

Для присоединенных полиномов Лежандра также существуют рекуррентные формулы

. (7.17)

или в случае x = cosθ,

. (7.18)

В итоге:

- присоединенные полиномы Лежандра ортогональны на отрезке -1÷ +1;

- присоединенные полиномы Лежандра n - й степени и m - го порядка пропорциональны производной m - го порядка от полинома Лежандра n - й степени;

- порядок присоединенной функции Лежандра не может превышать ее степень, т.е. всегда n ≥ m;

- присоединенный полином Лежандра имеет свойство .

Сферические функции также являются ортогональными. Кроме этого, сферические функции с m ≥ 0симметричны относительно экватора, если n – m – четные, и антисимметричны, если n – m – нечетные. При этом n – m равно числу нулевых точек по θ между Северным и Южным полюсом. Сферические функции обращаются в 0 на полюсах при m ≠ 0 и отличны от нуля при m = 0. В последнем случае - обычные полиномы Лежандра.

Поиск по сайту: