Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТИ



 

Действующие силы и равновесное состояние жидкости.Рассмотрим некоторый объем жидкости рис.2.2.1

Рассматриваемый объем жидкости находится в состоянии относительного равновесия. В этом случае выделенная точка М также находится в состоянии равновесия. Такое состояние предполагает равновесное состояние сил, воздействующих на выделенный объем.

 
 


Рис. 2.2.1.

На выделенный объем действуют внешние силы – поверхностные и объемные силы. Объемные силы – это внешние силы пропорциональные объему и плотности вещества. Поверхностные силы – силы, действующие в границах выделенного объема. Условие равновесия предполагает присутствие нормальной составляющей N и касательной составляющей K. Касательная составляющая К для условия относительного равновесия должна бать равна нулю. Таким образом, условие относительного равновесия в рассматриваемом случае предполагает равенство поверхностных и объемных сил.

Поверхностные силы. Поверхностные силы определяют так называемое поверхностное «напряжение». Поверхностное напряжение определяется выражением:

 

, (11)

 

где Р - действующая поверхностная сила, - площадь взаимодействия поверхностной силы.

Объемные силы. Объемные силы (массовые силы) определяются воздействие внешних сил. Для них можно записать:

 

(12)

 

Основная теорема гидростатики.Основная теорема гидростатики устанавливает то, что гидростатическое давление (р) в данной точке не зависит от его направления, т.е.:

, (13)

.где давления по направлению осей координат x,y,z и произвольному направлению i.

Рассмотрим некоторый элементарный объем жидкости (рис.2.2.2.) при условии, что он находится в состоянии равновесия.

 

Рис. 2.2.2.

 

В этом случае можно состояние равновесия выразить в виде трех уравнений проекций действующих сил и трех уравнений моментов:

 

и

 

и

 

и

(14)

 

При уменьшении граней выделенного объема в пределе до нуля система действующих сил превратится в систему сил, проходящих через точку, а система уравнений моментов теряет смысл.

Проекции этих сил на оси x, y, z можно представить в виде:

 

,

(15)

Где угол между нормальным направлением силы и соответствующей осью координат, а углы между составляющей равнодействующих массовых сил и осями координат.

 

Учитывая, что

 

;

и .

 

Проводя подобные рассуждения, относительно проекций сил на другие оси координат, и осуществляя соответствующие преобразования, получим:

 

-

 

-

 

(16)

 

Или, проведя соответствующие преобразования окончательно, получим:

 

 

 

 

(17)

Учитывая, что последняя составляющая в данной системе уравнений, представляет величину высшего порядка малости, можем записать:

 

 

 

 

(18)

или

 

Что и требовалось доказать.

В данном случае было доказано равнозначность гидростатического давления в точке по любому направлению, однако не следует забывать, что давление является функцией координат и времени.

 

 

Основной закон гидростатики.Выделим в объеме некоторую элементарную площадку . Данная площадка сверху нагружена столбом жидкости высотою , где высота столба жидкости (воздуха) над свободной поверхностью жидкости.

 

 

 


Рис.2.2.3.

 

Предполагая, что жидкость находится в состоянии относительного покоя. Выделим элементарный объем рис.2.2.3.

Условие равновесия выделенного элементарного объема предполагает равенство массовых и поверхностных сил. В проекциях на оси x, y, z можем записать:

 

 

(19)

 

 

или

 

(19 а)

 

 

Система уравнений (19 а) описывает относительное равновесное состояние жидкости (система уравнений равновесного состояния жидкости-Эйлера).

Сложение правых и левых частей уравнения позволяет получить уравнение:

 

(20)

 

Уравнение (20) представляет собой основное уравнение гидростатики.

Уравнение поверхности уровня. Поверхность уровня представляет поверхность равного давления. Поверхность уровня предполагает или

В этом случае уравнении (20) примет вид:

 

(21)

 

Уравнение (21) представляет уравнение поверхности уровня.

Поверхность уровня обладает определенными свойствами:

1. Поверхности уровня не пересекаются.

2. Направление объемных сил нормально к поверхности уровня.

Равновесие жидкости в поле земного тяготения.Рассматривая уравнение (20) для случая работы его в поле земного тяготения, т.е. X=0, Y=0, а Z=-g (см. рис. 2.2.3). В данном случае уравнение (20) примет вид

(22)

Проводя интегрирование уравнения (22) окончательно получим

(23)

Где величина гидростатического давления столба воздуха над выделенной поверхностью; -высота столба воздуха; - высота столба жидкости над выделенной поверхности.

Окончательно уравнение (23) примет вид:

 

(23 а)

Рис. 2.2.3

Сила давления жидкости на плоские поверхности. Определим силу давления Pн на произвольную наклонную площадь (рис.2.2.3). В данном случае величина Pн определяется из соотношения:

 

, (24)

 

Проекции силы Pн на оси xyz можно определить из выражений:

 

(25)

Где углы пространственной ориентации силы Pн

и осей координат xyz.

Центр давления. Центром давления называется точка приложения силы давления в столбе жидкости на расчетную площадку. Центр давления характеризуется координатами xyz, а для плоскости двумя координатами. В этом случае положение центра давления можно определить из выражения

 

, (26)

 

Где расстояние от поверхности уровня жидкости до точки приложения силы давления;

момент инерции площадки относительно рассматриваемой оси, проходящей через центр тяжести площадки;

расстояние от поверхности уровня жидкости до центра тяжести площадки;

угол ориентации площадки .

Для рассматриваемого случая, величина, т.е. центр давления всегда ниже центра тяжести рассматриваемой площадки. Исключение составляет частный случай, когда площадка, расположена горизонтально, в плоскости xoy. В этом случае центр давления совпадает с центром тяжести площадки. Расстояние между центром тяжести и центром давления принимается как эксцентриситетом приложения силы давления и центром тяжести.

Давление жидкости на криволинейные поверхности.Рассмотрим криволинейную поверхность (рис.2.2.4).

 

Рис. 2.2.4

Так как поверхность пластины криволинейная, то силы dR образуют систему не параллельных сил. Такую систему можно привести к главному вектору R. В общем случае можем записать:

 

(27)

,

где углы пространственной ориентации силы R

и осей координат x y z.

Сумма проекций элементарных сил может быть выражена в виде равнодействующей силы R;

 

(28)

,

Сила R по величине будет рана;

, (29)

 

Решение уравнений (28) можно представить в виде:

(30)

,

где - глубина погружения центра тяжести площадок, соответственно .

 

Закон Архимеда. Погрузим тело произвольной формы (рис. 2.2.5) в жидкость. Определим величину сил воздействующих на рассматриваемое тело. На рассматриваемое тело действуют поверхностные и массовые силы. Проекции рассматриваемых сил приведены на рис. 2.2.5.

 

 

 

Рис.2.2.5

 

Px, Py, Pz –проекции поверхностных сил соответственно на оси координат x,y,z. Учитывая, что данная система находится поле сил земного тяготения, массовая сила, действующая на погруженное тело, составит

 

G=γт×ωz ×(hн-hв), (31)

 

где hн и hв глубина погружения нижней и верхней граней тела, γт=ρg удельный вес погруженного тела, площадь грани нормальной к оси z.

В случае нахождения рассматриваемого тела в состоянии равновесия сумма поверхностных и массовых сил должна быть равна нулю.

 

, (32)

где G – сумма проекций массовых сил, R- сумма проекций поверхностных сил.

Подставляя в уравнение (32) составляющие получим

 

т×ωz×(hн-hв)+γв×ωz×(hн­hв)=0 (33)

 

или

 

т×Wт+ γв×Wв=0 (34)

 

Из анализа уравнения (34) следует, что в случае равенства удельного веса тела и воды тело находится в состоянии покоя. При условии γвт тело должно всплыть, а при условии γвт тело опустится на дно емкости.

 




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.