с несколькими особенностями .

Если функция определена на интервале (a,b) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с (a,b) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах (a,c] и[c,b),cÎ(a,b).

При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки с.Тогда

Y

. f(x)

0 a k c l b X

Такие интегралы называются несобственными интегралами с двумя (или несколькими) особенностями.(рисунок 2)

Вообще,если функция f :®R имеет на промежутке конечное число особых точек и Т: a=k1<k2< …….., что на каждом из,i=1¸n,особой точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов (1) :

cходится, то

c
ходится. Если хотя бы один из (1) расходится,то и весь (2) расходится.Действительно,расходимость хотя бы одного из участников суммы (2) означает,что данный интеграл (1) либо имеет бесконечную величину ,либо не имеет конкретного значения тем самым обращая всю сумму (2) либо в бесконечность,либо лишая ее конкретного значения.

Y

f(x)

0 a=k1 k2………ki…….kn-1 kn=b(+¥ в данном случае).

Рис.,поясняющий несобственный интеграл с несколькими особенностями .

Пример1.

Несобственный интеграл имеет две особенности : в точке x=0 функция неограниченно возрастает (собственная особая точка) ,при x®+¥ имеем интеграл по бесконечному промежутку(несобственная особая точка). Разобьём интервал интегрирования (0;+¥) так, чтобы на каждом промежутке подынтегральная функция f(x) имела не более одной особенности .Например,

(0; 1) и (1;+¥).

По определению исходный интеграл

С
ходится тогда,и только тогда , когда сходятся оба интеграла

П
ервый из этих интегралов расходится при p ³ 1 , второй - при p £ 1 ,таким образом , одновременно оба эти интеграла не сходятся ни при каком значении p .Итак , исходный интеграл расходится при любом значении p .
</k2<>

Поиск по сайту: