Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

І. Теорія многочленів



ІІ семестр

1. Чи є кільцем множина всіх многочленів з кільця :

1) в яких змінна х має тільки парний степінь;

2) в яких змінна х має тільки непарний степінь;

3) які не містять вільного члена;

4) коефіцієнти яких кратні даному натуральному числу ;

5) степінь яких не перевищує числа 10;

6) степінь яких не менший числа 2.

2. Довести, що з функціональної точки зору, наступні многочлени дорівнюють один одному:

1) і з кільця ;

2) і з кільця ;

3) і з кільця .

3. Знайти суму коефіцієнтів таких многочленів:

1) в кільці ;

2) в кільці ;

3) в кільці .

4. При яких значеннях многочлен ділиться на многочлен :

1) в кільці ?

2) в кільці ?

5. При діленні на в кільці дістали остачу 3, а при діленні на - остачу 9. Яка буде остача, якщо ділити на ?

6. Остачі від ділення многочленів і на в кільці відповідно дорівнюють і . Знайти остачу від ділення многочлена на .

7. При діленні на у кільці дістали частку та остачу Знайти остачу від ділення на .

8. Многочлен з кільця ділиться на ; при діленні на цей многочлен дає остачу 2, а при діленні на остачу . Знайти остачу від ділення многочлена на .

9. Остачі від ділення многочлена з кільця на , відповідно дорівнюють 3, 15 та 0. Знайти остачу від ділення на .

10. Довести, що многочлен

ділиться на і в кільці для всіх і .

 

11. Розкласти на множники над полем дійсних чисел:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

12. Довести, що є різниця двох цілих многочленів з цілими коефіцієнтами.

13. Знайти А,В,С,D при яких многочлен є квадратом многочленна .

14. Відомо, що сума коефіцієнтів одного многочленна дорівнює m, другого – n. Знайти суму коефіцієнтів многочленна, який є добутком цих многочленів.

15. Знайти два таких многочлени, щоб кожен з них не ділився на , а добуток ділився на .

16. Не виконуючи ділення, вияснити, чи ділиться на .

17. Довести, що ділиться націло на .

18. Довести, що набуває тільки додатніх значень .

19. При якому h вираз є повним квадратом?

20. Знайти НСД розклавши попередньо многочлени на множники:

1) ;

2) .

21. Знайти лінійне представлення НСД многочленів:

1) ;

 

2) ;

 

 

3) .

 

22. Знайти суму, різницю та добуток многочленів:

1) , де - кільце цілих гаусівських чисел.

2)

3)

4)

5)

6) .

23. Користуючись схемою Горнера, поділити в кільці многочлен на лінійний двочлен :

1)

2)

3)

4)

5)

6) .

24. Користуючись схемою Горнера, знайти :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

25. Користуючись схемою Горнера, поділити многочлен на лінійний двочлен :

1) ;

2) ;

3) ;

4)

26. Користуючись схемою Горнера, визначити кратність кореня многочлена і розкласти на відповідні множники:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

27. Знайти такі значення і , при яких число було б коренем многочлена кратності не нижче ніж :

1) ;

2) ;

3) .

28. Знайти дільник , якщо відомі ділене , частка та остача :

1) ;

 

2) ;

 

 

3) ;

 

4) .

 

 

29. Знайти значення і , при яких многочлен ділиться на многочлен :

1) ;

2) .

30. Знайти НСД і НСК многочленів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

31. За допомогою алгоритму Евкліда знайти лінійне представлення НСД многочленів і :

,

де

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

32. Над яким з полів , чи є звідними наступні многочлени:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

33. Чи звідні над полем наступні многочлени? У випадку звідності, розкласти їх на множники, незвідні над :

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

34. Знайти НСД і НСК многочленів:

1) ;

2) .

35. Розкласти многочлен за степенями :

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

36. Користуючись схемою Горнера, знайти значення многочлена та його похідних при :

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

37. Розкласти на звичайні дроби:

1) ;

2) .

38. Виділити кратні множники многочленів і знайти їх корені:

1) ;

2) ;

3) .

39. Знайти кратність кореня многочлена :

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

40. Визначити значення буквених коефіцієнтів многочлена так, щоб число було його коренем кратності не нижче 2:

1) ;

2) ;

3) .

41. Скласти нормований многочлен найменшого степеня над полем , який має корені:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

42. Використовуючи формули Вієта, побудувати многочлен за його коренями:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

43. Розкласти многочлен на незвідні множники над С:

1) ;

2) ;

3) .

44. Сума двох коренів многочлена дорівнює 1. Знайти .

45. Знайти многочлен 3-го степеня зі старшим коефіцієнтом , якщо його корені задовольняють умовам:

, , .

46. Показати, що рівняння є біквадратним (тобто ), якщо сума двох його коренів дорівнює сумі двох інших коренів і дорівнює 0:

.

47. Знайти співвідношення, яким зв’язані коефіцієнти рівняння , якщо його корені пов’язані співвідношенням .

48. Показати, що якщо корені многочлена утворюють геометричну прогресію, то справедливе співвідношення . Перевірити, що умова не тільки необхідна, але і достатня.

49. Знайти нормований многочлен найменшого степеня з дійсними коефіцієнтами, який має:

1) простий корінь і двократний корінь 1;

2) простий корінь -3 і двократний корінь ;

3) простий корінь і двократний корінь ;

4) простий корінь і двократні корені та ;

5) трикратний корінь .

50. Знаючи, що число є корінь многочлена , знайти інші його корені:

1) ;

2) ;

3) .

51. Розкласти многочлен на множники, незвідні над полем :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

52. Знайти раціональні корені многочленів:

1)

2)

3)

4)

53. Вияснити, які з нижчевказаних многочленів 2-го та 3-го степеня звідні над полем раціональних чисел, у випадку звідності розкласти їх на множники, незвідні над полем :

1)

2)

3)

4)

54. Користуючись критерієм Ейзенштейна, довести незвідність над полем многочленів:

1)

2)

3)

55. Розташувати лексикографічно члени многочленів:

1)

2)

3)

56. Знайти вищий член та степінь добутку многочленів, не перемножуючи самі многочлени:

1) ,

2) , ,

3) ,

4) ,

57. Виділити однорідні складові многочлена:

1)

2)

3)

58. Виразити подані симетричні многочлени від виразити через основні симетричні многочлени :

1)

2)

3)

4)

59. Обчислити , якщо - корені рівняння .

60. Знайти, чому дорівнює добуток , вважаючи, що - корені рівняння .

61. Використовуючи таблицю степеневих сум, виразити через основні симетричні многочлени наступні многочлени:

1) ;

2) ;

3) .

62. Розв’язати симетричні системи рівнянь:

1)

2) ;

3) ;

4) .

63. Розв’язати ірраціональне рівняння:

1) ;

2) .

64. Скласти квадратне рівняння коренями якого є куби коренів рівняння

.

65. Скласти квадратне рівняння з коренями , якщо відомо, що , .

66. При якому дійсному , сума квадратів коренів рівняння має найменше значення?

67. Виключити з системи рівнянь (двома способами):

1) ;

2) .

68. Розв’язати систему рівнянь над полем , послідовно виключаючи змінну :

.

69. Розв’язати систему на полем С за допомогою результанта:

. (Виключити х)

70. Нехай, . Перевірити справедливість таких рівностей:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6)

71. Виразити через елементарні симетричні многочлени чисельник і знаменник раціонального дробу та знайти його значення, якщо:

1) і ;

2) і ;

3) і змінні набувають значень, що дорівнюють кореням рівняння .

72. При якому значенні мають спільний корінь такі многочлени:

1)

2)

73. При якому значенні мають кратні корені такі многочлени:

1) ;

2) ?

74. Знайти суму квадратів коренів многочлена .

75. Знайти суму квадратів коренів многочлена .

76. Знайти зведені многочлени, в яких:

1) Корені дорівнюють , а є коренями многчлена ;

2) Корені дорівнюють , а є коренями многочленна .

77. Корені многочлена утворюють арифметичну прогресію. Знайти цей мночлен і його корені, якщо:

1) ;

2) .

78. Один з коренів многочлена вдвоє більший за другий. Знайти та його корені.

79. За формулами Вієта знайти зведений многочлен найменшого степеня, якщо його похідна має прості корені 2 та , двократні корені , а 1 є коренем многочлена .

80. Знайти число дійсних коренів многочленів:

1) на проміжку ;

2) на проміжку ;

3) на проміжку .

81. Відокремити дійсні корені таких многочленів:

1) ;

2) ;

3) .

 

 




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.