Случайная величина X подчиняется нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием a и известной дисперсией.

В этом случае количество измерений n может быть любым числом не меньше одного. Для решения уравнения (4.7) рассмотрим вспомогательную случайную величину

(4.8)

Легко доказать, что эта величина имеет нормальный закон распределения, если воспользоваться известным фактом: линейная комбинация независимых случайных величин с нормальными законами распределения имеет нормальный закон распределения [1]. Вычислим математическое ожидание и дисперсию z:

Мы доказали, что z=N(0,1) – стандартный нормальный закон с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, равной единице. Далее, решение уравнения (4.7),, в котором , сводится к решению равносильного уравнения (4.9).

(4.9)

Найдём из таблицы значений функции Лапласа точку x*, для которой

Значение функции равно /2. Число x* равно радиусу окрестности нуля, в которую случайная величина z «попадает» с вероятностью . Следовательно, найти неизвестное число r можно из равенства:

= x* . То есть r = .

Пример 4.9. Произведено пять независимых опытов по измерению случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения с неизвестным математическим ожиданием a и известной дисперсией D=6.6. Получен массив: -2.5, 3.4, -2, 1, 2.1. Найти доверительный интервал для математического ожидания при =0.9.

Вычислим выборочное среднее: . Оно будет стоять в центре интервала. Для вероятности 0.45 найдём точку x* из таблицы значений функции Лапласа (Приложение 2):

Следовательно, радиус окрестности равен

1.9,

а доверительный интервал имеет вид (-1.5, 2.3) = 0.4 1.9.

Поиск по сайту: