Случайная величина X подчиняется нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием a и неизвестной дисперсией.

В этом случае количество измерений n также может быть любым числом не меньше одного. Для решения уравнения (4.7) рассмотрим вспомогательную случайную величину

(4.10)

Закон распределения вероятностей для случайной величины z был получен Стьюдентом. Сформулируем результат в виде теоремы.

Теорема 4.2. (Стьюдента) Пусть компоненты системы случайных величин (X1, X2, …, Xn ) независимы, имеют одинаковые нормальные распределения с математическим ожиданием, равным числу a и неизвестной дисперсией. Тогда случайная величина имеет закон распределения Стьюдента с n-1 степенью свободы.

Решение уравнения (4.7), в котором , сводится к решению равносильного уравнения (4.11).

(4.11)

Найдём из таблицы значений вероятности для распределения точку x*, для которой вероятность, соответствующая промежутку

(0, x*) при данном числе степеней свободы равна /2. Число x* является радиусом окрестности нуля, в которую случайная величина z «попадает» с вероятностью . Следовательно, найти неизвестное число r можно из равенства:

= x* . То есть r = .

Пример 4.10. Произведено пять независимых опытов по измерению случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения с неизвестным математическим ожиданием a и неизвестной дисперсией Получен массив: -2.5, 3.4, -2, 1, 2.1. Найти доверительный интервал для математического ожидания при =0.9.

Вычислим выборочное среднее: . Оно будет стоять в центре интервала. Вычислим исправленную дисперсию:

.

Для вероятности 0.45 найдём точку x* из таблицы для функции (Приложение 4): Следовательно, радиус окрестности равен r = , а доверительный интервал имеет вид 0.4 2.45.

Поиск по сайту: