ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1

ТЕМА: Прямі методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гауса.

МЕТА: Опанувати методом Гауса для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) за схемою єдиного ділення та повного вибору.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими має вигляд:

,

(1)

або в компактному вигляді (2)

В матричній формі запишемо систему так:

, (3)

де - матриця коефіцієнтів системи; - вектор вільних членів; - вектор невідомих.

Система (1) буде мати єдиний розв’язок, якщо матриця А невироджена, тобто .

Чисельні методи розв’язування СЛАР діляться на дві групи: прямі та ітераційні.

Прямі методи дозволяють за скінчену кількість дій отримати точний розв’язок системи (1), якщо елементи матриці А і вектор вільних членів задано точно, і обчислення проводяться без округлень.

Ітераційні методидозволяють знайти наближений розв’язок шляхом побудови послідовності наближень (ітерацій):

,

починаючи з деякого наближення

.

Вибір методу розв’язування СЛАР залежить:

· від властивостей матриці А;

· від кількості рівнянь;

· від характеристик комп’ютера (швидкодії, розрядної сітки, об’єму оперативної пам’яті).

Прямі методи використовуються для розв’язування систем невеликої вимірності ( ).

Ітераційні методи використовують зазвичай для систем великої вимірності ( ), коли використання прямих методів є недоцільним через необхідність виконувати занадто велику кількість арифметичних операцій.

Метод Гауса є найрозповсюдженим прямим методом розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Ідея методу полягає у зведенні матриці коефіцієнтів системи A до трикутного вигляду, що досягається послідовним вилученням невідомих із рівнянь системи. Отримується еквівалентна система:

,

(4)

або в матричній формі запису: .

Зведення системи (1) до еквівалентної (4) називається прямим ходом метода Гауса, а розв’язування системи (4), тобто послідовне визначення невідомих, - зворотним ходом метода Гауса.

Прямий хід можна реалізувати за двома схемами.

Схема єдиного ділення. Послідовно з системи (1) вилучаються невідомі x₁, x₂, …, x_i, …, x_n-1. Для вилучення i-ой невідомої з рівнянь системи з номерами i+1, i+2,…, n розділимо і-те рівняння на коефіцієнт . Потім від кожного i+1, і+2,…, n рівняння будемо віднімати і-те рівняння, помножене на відповідні коефіцієнти , , …, :

(5)

Зворотний хід виконується через прямі підстановки за формулами:

(6)

Схему повного вибору доцільно використовувати, якщо матриця коефіцієнтів розріджена нулями, або діагональні елементи матриці є малими величинами. Серед елементів матриці А обирають головний - найбільший по модулю:

.

Рядок і стовпець, в якому знаходиться головний елемент, теж називають головними. Всі елементи головного стовпця ділять на головний елемент зі знаком «-»:

. (7)

Потім, вилучають з системи невідому x_q . Для цього, до кожного неголовного і-го рядка (і=1,2,…,n; i≠p) додають головний р-ий рядок, помножений на відповідний множник :

(8)

Головні рядок і стовпець вилучаємо з матриці, і обираємо новий головний елемент. Дії продовжуємо до тих пір, доки не будуть вилучені всі невідомі з системи. Щоб визначити значення невідомих, об’єднуємо в систему всі головні рядки, починаючи з останнього вилученого.

На практиці при розрахунках користуються розширеною матрицею коефіцієнтів системи, яку отримують із матриці A, доповнюючи її справа вектором .

ЗАВДАННЯ

Методом Гауса за схемами єдиного ділення та повного вибору розв’язати СЛАР.

Поиск по сайту: