Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

ГЛАВА 2. Интересные свойства замечательных чисел



Некоторым людям кажется, что натуральный ряд чисел скучен и однообразен и что о нем все уже известно, все сказано. Эти люди глубоко ошибаются. Уже в Древней Греции математики заметили многие интереснейшие свойства чисел этого ряда. Иногда эти свойства присущи отдельным числам, но чаще всего целым группам чисел. Одни из этих свойств просто любопытны, другие – имеют научное значение.

А разве интересны только те свойства, что заметили греки? Кроме них есть сотни и тысячи свойств. И свойства эти одно удивительнее другого.

Пример 1. Свойство чисел 135 и 144.

135 = (1+3+5) ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5, 144 = (1+4+4) ∙1 ∙ 4 ∙ 4.

Свойство: Числа равны произведению своих цифр на сумму этих цифр.

Пример 2.Свойства «обыкновенного» числа 37.

Свойство 1. 37 ∙ 3 = 111, 37∙ 6 = 222, 37∙ 9 = 333, 37∙12 = 444, 37∙15 = 555, 37 ∙ 18 = 666, 37 ∙ 21 = 777, 37 ∙ 24 = 888, 37 ∙ 27 = 999.

Свойство 2. 37 ∙ (3+7) = + ,

Свойство 3. (3² + 7²) – 3 ∙ 7 = 37.

Свойство 4. Возьмем любое трехзначное число, кратное 37. Пусть это будет 185 и сделаем в нем круговую перестановку его цифр (последнюю цифру поставим на первое место, не измени в порядок остальных цифр), т. е. получим 518, сделаем еще круговую перестановку – получим 851. Оба получившихся числа тоже делятся на 37. 518 : 37 = 14, 851 : 37 = 23.

Эти примеры в древней Греции не были известны, так как подобные свойства основаны на нашей десятеричной системе, грекам не знакомой.

Пример 3. Свойство числа 41. Если в любом пятизначном числе, кратном 41, провести всевозможные круговые перестановки цифр, то все получившиеся таким образом числа будут также кратны 41.

Например: 24 026 = 586 ∙ 41. Убедимся, что получившиеся при перестановках числа 62 402, 26 240, 40 262 тоже кратны 41.

62 402:41 = 26 240:41 = 40 262:41 =

Пример 4. А разве неудивительно, что сумма любого количества последовательных натуральных чисел, начиная с единицы, всегда дает точный квадрат.

1 + 3 = 4 + 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3², 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² и т. д.

Докажем в общем виде: Очевидно, что нечетные числа составляют последовательность: 1, 3, 5, … Последовательные нечетные числа можно записать в виде (2n + 1). Удвоенная сумма первых членов этой последовательности равна (1 + 2n + 1) + (3 + 2n - 1) + (5 + 2n – 3) + (2n + 1 + 1), т. е. 2n + 1 слагаемых, каждое из которых равно 2n + 2.

Поэтому = = = (n + 1)².

Пример 5. Сумма кубов натурального ряда чисел, начиная с одного, равна квадрату суммы этих чисел.

1³+2³ = 1 + 8 = 9 =(1 + 2)², 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 = (1 + 2 + 3)² и т. д.




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.