Формулы для справок.

Если функция задаётся формулой, то такое задание называют явным заданием. Примеры

. Каждая функция задает на плоскости кривую называемую графиком.

Если функция задаётся уравнением , связывающем между собой переменные ,то такое задание называют неявным заданием функции. В этом случае, чтобы вычислить значение функции нужно в уравнение подставить данное значение аргумента и затем, решив его относительно найти значение функции . Примеры неявного задания функций:

.

Каждое из уравнений 1)-3) задает на плоскости ОХУ кривую, которая не является графиком. Иногда можно из неявного задания функции получить явное выражение .

Пример 1. Выразить явно если:

1) ;

2) .

Решение . 1) .

2) .

Напомним также различные формы записи производных: первого порядка ; второго порядка и т.д.

Определение дифференциального уравнения (ДУ).

ДУ, заданным на некотором интервале , назовём уравнение, связывающее между собой аргумент, искомую функцию и производые искомой функции или дифференциалы.

Пример 2.

Уравнение

не является дифференциальным уравнением. Почему?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЯ. Порядком уравнения называется порядок старшей производной входящей в уравнение.

В примере 2 ДУ уравнения 1), 2) первого порядка. Уравнение 3) второго порядка.

Данная лекция посвящена ДУ первого порядка.

ДУ распадаются на типы. Каждый тип имеет свой алгоритм решения. Мы рассмотрим два типа наиболее встречающихся ДУ

1) ДУ с разделяющимися переменными. Их всегда можно записать в виде

(1)

2) Линейные ДУ. Их всегда можно записать в виде

(2)

Поскольку основным приёмом при решении ДУ является интегрирование, то решение ДУ называют интегралом. Графическое изображение решения называют интегральной кривой. Каждое ДУ имеет бесконечно много интегральных кривых . Решить ДУ значит найти все его интегралы. Совокупность всех частных решений ДУ назовём общим решением или общим интегралом.

ПЕРЕЙДЁМ К КОНКРЕТНЫМ АЛГОРИТМАМ РЕШЕНИЙ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ ТИПОВ ДУ.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ДУ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (1).

Далее предполагаем

функция (А)

В этом случае различные интегральные кривые не пересекаются. А это означает, что если

выделить конкретную точку на плоскости , то через неё пройдет только она интегральная кривая.

Пример . 1. Изобразить на плоскости ОХУ множества всех интегральных кривых ДУ

(В)

Решение. Разделим переменные

Таким образом, мы получили все решения ДУ. Все они зависят от одной произвольной постоянной С. Изображения всех этих решений на плоскости ОХУ и есть интегральные кривые.

Рис1

Как видно из рисунка интегральные кривые не пересекаются (они параллельны). Если мы хотим выделить из всего этого множества конкретную интегральную кривую , то мы должны фиксировать конкретную точку на ОХУ и выбрать единственную интегральную кривую, проходящую через эту точку.

Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными.

1шаг. В уравнении (1) разделяем переменные

2шаг. Интегрируем обе части равенства по переменной

общий интеграл (общее решение) данного ДУ

(3)

Проверим , что полученная неявно заданная функция является решением нашего ДУ (1).

Для того чтобы из общего решения выделить частное решение, нужно в дополнение к ДУ задавать еще начальное условие . Геометрически это означает , что ищется интегральная кривая, проходящая через точку координатной плоскости ОХУ. Поскольку интегральные кривые при условии (А) не пересекаются, то любая начальная задача , задаваемая условиями

, (4)

имеет единственное решение. То есть через каждую точку проходит единственная интегральная кривая.

Общим решением ДУ (1) назовём множество решений всех начальных задач.

Перейдем к практическому решению ДУ с разделяющимися переменными.

Пример 3. Найти общее решение ДУ .

Решение .

Порядок данного ДУ- первый

Тип ДУ - ДУ с разделяющимися переменными

Применяем соответствующий алгоритм решения.

1 шаг. Разделяем переменные

2 шаг. Интегрируем обе части по переменной

Пример 4. Решить начальную задачу ,

Решение .

Порядок данного ДУ- первый

Тип ДУ - ДУ с разделяющимися переменными

Выписываем общий интеграл данного ДУ (см.пример 3)

Так как решения всех начальных задач содержатся в общем интеграле, то подставляя

в полученное общее решение определяем постоянную С, которая фиксирует нужное значение.

Отсюда получаем единственное частное решение поставленной начальной задачи

Перейдем к изучению алгоритма нахождения общего решения линейного ДУ (2).

1шаг. Вычисляем интегрирующий множитель .

Таким образом умножая обе части ДУ на интегрирующий множитель , получаем

2 шаг.

Общее решение линейного ОДУ имеет явный вид (6)

Пример 5. Найти общий интеграл ДУ .

Решение .

Порядок данного ДУ- первый

Тип данного ДУ - линейное ДУ .

1 шаг. Вычисляем интегрирующий множитель и умножаем на него обе части уравнения

2 шаг. Интегрируем обе части полученного уравнения по x

Ответ: общее решение имеет вид .

Пример 6. Решить начальную задачу , .

Решение . Порядок данного ДУ- первый. Тип данного ДУ - линейное ДУ

Находим общее решение (см. пример 5) . Подставляем в него

. Откуда частное решение начальной задачи имеет вид .

Проверка .

Проверяем справедливость начальных условий

Поиск по сайту: