СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений).

Для того, чтобы научиться решать СЛАУ при помощи матриц, необходимо знать понятие ранга матрицы.

РАНГОМ матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обозначается: r(A)

Свойства ранга матрицы:

1. не превосходит меньшего из размеров матрицы.

2. равен нулю тогда и только тогда, когда матрица нулевая.

3. для квадратной матрицы m*m ранг r(A)=n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная (определитель не равен нулю).

· Строки матрицы а₁, а₂, а₃, …, аᵤ, называются линейно зависимыми, если существуют числа Λ₁, Λ₂, Λ₃, …, Λᵤ, не равные нулю одновременно, что линейная комбинация строк равна нулевой строке.
Λ₁ а₁ + Λ₂ а₂ + Λ₃ а₃ + … + Λᵤ аᵤ = 0.

· Линейная зависимость строк означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Если равенство выполняется только пр нулевых коэффициентах, то строки являются независимыми.

ТЕОРЕМА:
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов), через которые выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Система (СЛАУ) u линейных уравнений с v неизвестными имеет вид:

Решением СЛАУ называется такая совокупность v чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в верное равенство.

ü СЛАУ – СОВМЕСТНАЯ, если есть хотя бы одно решение, НЕСОВМЕСТНАЯ, если нет решений.

ü СЛАУ – ОПРЕДЕЛЕННАЯ, если есть только единственное решение, НЕОПРЕДЕЛЕННАЯ, если решений несколько.

ü Две СЛАУ – РАВНОСИЛЬНЫ (ЭКВИВАЛЕНТНЫ), если имеют одинаковое количество решений.

РЕШЕНИЕ СЛАУ ПРИ ПОМОЩИ МАТРИЦ.

Метод КРАМЕРА.

Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δᵢ - определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой i-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если Δ не равно нулю, то система имеет единственное решение, определенное по формулам:

ПРИМЕР:

Метод ГАУССА.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных, заключается в то, что с помощью элементарных преобразований СЛАУ приводится к равносильной системе ступенчатого (треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних, находятся все переменные.

ПРИМЕР:

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение.

Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то матрица имеет бесконечное число решений.

Поиск по сайту: