Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Дифференциальное уравнение теплопроводности



Рассмотренные выше основные закономерности тепловых процессов, протекающих в природе, описывают стационарные температурные поля. Однако часто приходится сталкиваться с нестационарными температурными полями, т. е. с такими полями, значения температуры которых меняются в каждой точке во времени. Для них закон Фурье и другие, справедливы, если рассматривать их в каждый момент времени. Тепловой процесс, протекающий во времени, можно описать дифференциальным уравнением. Такое уравнение получил Фурье. В основе этого уравнения лежит закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты, введенное в элементарный объем извне за время dt вследствие теплопроводности равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме. Ниже приведем вывод этого уравнения.

Рис. 3.4. Схема к выводу дифференциального уравнения теплопроводности [8]

 

Выделим в однородном и изотропном твердом теле (в системе декартовых координат x, y, z) элементарный параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 3.4) и рассмотрим баланс теплоты для этого объема. В пределах выделенного объема температура меняется в трех направлениях, соответственно по осям x, y, z. Следовательно, через три грани рассматриваемого параллелепипеда в направлении трех осей будет входить количество теплоты, равное Q1, Q3, Q5 и, соответственно, через три противоположные грани будет выходить количество теплоты, равное Q2, Q4, Q6.

Если количество теплоты, входящее в выделенный элементарный объем, не равно выходящему из него, то произойдет изменение энтальпии этого объема, которое обозначим через Q7.

Составим уравнение теплового баланса для выделенного объема вещества:

Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 + Q6 = Q7. (3.27)

Определим составляющие этого уравнения. Согласно формуле (3.10), имеем:

 

 

 

(3.28)

 

 

Согласно формуле (3.1),

(3.29)

 

В уравнениях (3.28) и (3.29) qx, qy, qz — удельные тепловые потоки через грани соответственно в направлении осей х, у, z; ¶qx/х, qy/у, qz/z — изменение удельных тепловых потоков внутри выделенного объема по осям х, у, z; ¶t/¶τ — изменение температуры этого объема за время dτ.

Решая совместно уравнения (3.27) – (3.29), одновременно проводя деление каждого слагаемого на dx, dy, dz, dτ и на сρ, получаем

 

(3.30)

 

 

Выразим удельные тепловые потоки в уравнении (3.30) согласно закону Фурье (3.9). Тогда

 

(3.31)

 

или

t/¶τ = a 2t/x2 + ¶2t/y2 + ¶2t/z2), (3.32)

где a = λ / (cρ)—коэффициент температуропроводности.

Уравнение (3.32) носит название дифференциального уравнения теплопроводности в декартовых координатах.

Обозначив

2t/x2 + ¶2t/y2 + ¶2t/z2 = Ñ 2t, (3.33)

 

где — оператор Лапласа, получим более короткую запись уравнения теплопроводности:

t/¶τ = a Ñ 2t. (3.34)

 

Уравнение (3.32) описывает нестационарное пространственное температурное поле. Для нестационарного двухмерного температурного поля оно имеет вид

t/¶τ = a2t/x2 + ¶2t/y2), (3.35)

а для нестационарного одномерного

t/¶τ = a2t/x2. (3.36)

Если наблюдается температурное поле с неменяющейся температурой по времени, т. е. ¶t/¶τ = 0, то дифференциальное уравнение теплопроводности (3.32) принимает вид уравнения Лапласа:

2t/x2 + ¶2t/y2 + ¶2t/z2 = 0. (3.37)

Соответственно для двухмерного температурного поля

2t/x2 + ¶2t/y2= 0, (3.38)

для одномерного

2t/x2 = 0. (3.39)

Температурные поля, описываемые уравнениями (3.37) - (3.39), носят название стационарных полей. Из этих уравнений следует, что температурные поля тел при стационарном режиме не зависят от коэффициента температуропроводности a и, следовательно, от коэффициента теплопроводности λ.




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.