Мои Конспекты
Главная | Обратная связь


Автомобили
Астрономия
Биология
География
Дом и сад
Другие языки
Другое
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Металлургия
Механика
Образование
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Туризм
Физика
Философия
Финансы
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Электроника

Величина транспонированного определителя равна величине исходного определителя.



Донецк

 

УДК 51

 

На протяжении многих лет ведущие преподаватели кафедр «Высшая математика» и «Математическая физика» разрабатывали методические указания и индивидуализированные задания для самостоятельной работы студентов всех специи-альностей, обучение по которым проводится в Донецком национальном техническом университете. Основными работами преподавателей кафедр «Высшая математика» и «Математическая физика» являются:

1. Методические указания к организации самостоятельной работы при изучении линейной алгебры и аналитической геометрии. – Н.Г. Плаксина, С.Н. Мартынова. – Донецк: ДПИ, 1988. – 44с.

2. Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу „Высшая математика” – Н.С. Ищенко, Н.Г. Плаксина, В.Я. Шварц. – Донецк: ДПИ, 1983. – 28с.

3. Методические указания к выполнению типовых расчетов по курсу „Высшая математика”(I семестр). – Н.С. Ищенко, О.П. Кирсанова, Л.М. Шевченко. – Донецк: ДПИ, 1984. – 68с.

4. Задания к индивидуальным практическим занятиям по разделу курса высшей математики „Дифференциальное исчисление”. – Ю.Л. Носенко, Л.М. Шевченко. – До-нецк: ДПИ, 1987. – 36с.

5. Задания к индивидуальным практическим занятиям по разделу курса высшей математики „Интегральное исчисление”. – Ю.Л. Носенко, Н.П. Носенко. – Донецк: ДПИ, 1986. – 56с.

6. Методические указания по курсу „Высшая математика” (Раздел „Функции нескольких переменных”). – Н.Г. Плаксина, С.Н. Мартынова. – Донецк: ДПИ, 1992. – 44с.

7. Методические указания к типовым расчетам по разделу курса высшей мате-матики „Обыкновенные дифференциальные уравнения”. – Н.Г. Плаксина – Донецк: ДПИ, 1987. – 44с.

8. Методические указания по организации самостоятельной работы студентов при изучении курса высшей математики. Раздел „Ряды”. – Н.П. Носенко, Ю.Л. Носенко. – Донецк: ДПИ, 1988.- 40с.

9. Методические указания к выполнению типового расчета по курсу теории вероятностей, ч.1(2). – А.К. Зубченко. – Донецк: ДПИ, 1983(84). – 42с.(48с.)

10. Методические указания к выполнению семестрового индивидуального задания по математической статистике. – Ю.Ф. Косолапов, Н.Г. Плаксина. – Донецк: ДПИ, 1989. – 48с.

В связи с тем, что при выдаче индивидуализированных заданий на семестр позволяет студентам спланировать время на их выполнение, возникла необходимость в дополнение к изданным методическим указаниям собрать задания для самостоятельной работы в едином сборнике. Кроме того, в связи с уменьшением времени, отводимого на изучение курса высшей математики в техническом университете, ряд заданий был исключен, преобразован, заменен другими примерами. На выполнение каждой самостоятельной работы отводится определенное количество времени согласно учебному плану для данной специальности.

 

1 курс1 семестр

Тема: Основы линейной алгебры

“Определители и их свойства”

“Матрицы и действия с ними”

“Методы решения систем линейных алгебраических уравнений”

Тема: Элементы векторной алгебры

“Векторы. Проекции”

“Скалярное произведение векторов и его свойства”

“Векторное и смешанное произведения векторов”

Тема: Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

“Прямая на плоскости. Основные задачи”

“Кривые второго порядка”

“Преобразования декартовой системы координат. Полярная система координат”

“Плоскость в пространстве”

“Прямая в пространстве”

Тема: Основы математического анализа

“Функция”

“Теория пределов”

“Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах”

“Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций”

“Непрерывность функций и точки разрыва”

“Дифференциальное исчисление. Понятие производной”

“Производная от элементарных, параметрически и неявно заданных функций”

“Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков”

“Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя”

“Формула Тейлора и ее применение”

“Приближенные методы решения уравнений”

“Исследование функций с помощью производных: Возрастание и убывание функций. Экстремумы. Необходимое условие существования экстремума”

“Исследование функций с помощью производных: Достаточные признаки существования экстремумов. Выпуклость и вогнутость графика функции. Ассимптоты”

Тема: Основы линейной алгебры

(О – определение; Т – теорема; Сл. – следствие.)

“Определители и их свойства”

О1. Определителем порядка n называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы, имеющей n строк и n столбцов, которая вычисляется по определенному правилу:

побочная диагональ

.

главная диагональ

Числа называются элементами определителя, – нумератор строки – нумератор столбца. Элементы с одинаковым нумератором образуют строки, а элементы с одинаковым нумератором – столбцы. Элементы с равными нумераторами образуют главную диагональ. Другая диагональ квадратной таблицы, начинающаяся в левом нижнем углу и заканчивающаяся в правом верхнем углу, называется побочной.

О2. Определителем II порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 2 х 2, то есть имеющей 2 строки и 2 столбца.

Определитель II порядка вычисляется по правилу: из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, надо вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали: .

Пример 1.

О3. Определителем III порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 3 х 3, то есть имеющей 3 строки и 3 столбца.

Определитель III порядка вычисляется по правилу Саррюса: за определителем выписывают первый и второй столбцы, затем из суммы произведений эле-ментов, стоящих на главной диагонали и ей параллельных диагоналях, надо вычесть сумму произведений элементов, стоящих на побочной диагонали и ей параллельных:

Пример 2.

О4. Минором элемента называется определитель порядка , который получается из исходного определителя порядка путем вычеркивания строки и столбца , на пересечении которых стоит элемент :

………………….. .

…………………..

Пример 3. Найти миноры элементов и определителя из Примера 2.

Вычеркивая в определителе строку 1 и столбец 2, получим минор . Поступая аналогично со строкой 3 и столбцом 3, получим минор .

Пример 4. Найти миноры элементов и определителя .

Исходя из определения минора, получаем , .

О5. Алгебраическим дополнением элемента называется произведение минора этого элемента на , то есть .

Из определения алгебраического дополнения следует, что алгебраическое дополнение совпадает со своим минором, если сумма является четным числом, и противоположно ему по знаку, если сумма есть нечетное число.

06. Транспонированным определителем го порядка называется определитель порядка , полученный из исходного определителя путем замены строк на соответствующие столбцы, а столбцов на соответствующие строки.

Если , то .

Пример 5. Найти определитель, транспонированный к определителю

. Используя определение транспонированного определителя, находим, что .

Наиболее важными свойствами определителей являются следующие свойства:

Величина транспонированного определителя равна величине исходного определителя.

Перестановка местами двух строк (столбцов) изменяет знак определителя на противоположный.

3. Определитель, содержащий две (или более) одинаковых строки (столбца), равен нулю.

4. Для того чтобы умножить определитель на число , достаточно умножить на это число все элементы какой-либо одной строки (столбца). Обратно: если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель , то его можно вынести за знак определителя.

Если две каких-либо строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то опреде-литель равен нулю.

Если элементы какой-либо строки (столбца) можно представить в виде двух слагаемых, то сам определитель можно представить в виде суммы двух определителей.

8. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на вещественное число и прибавить к соответствующим элементам другой строки (соответственно, столбца), то величина определителя равна нулю.

9. (Метод раскрытия определителя по элементам какой-либо строки (столбца); универсальный способ вычисления определителя любого порядка). Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения: .

Пример 6. Вычислить определитель по элементам 3 строки и по элементам 2 столбца.

Воспользуемся свойством 9: раскроем определитель по элементам 3 строки

.

Вычислим определитель по элементам 2 столбца

.

Отсюда видно, что свойство 9 является универсальным методом вычисления определителя любого порядка по элементам любой строки или столбца.

“Матрицы и действия с ними”

О1. Матрицей называется таблица чисел (выражений), имеющая m строк и n столбцов: .

В дальнейшем будем писать матрицу в сокращенном виде , где числа называются матричными элементами, – нумератор строк, – нумератор столбцов, выражение будем называть размерностью матрицы или ее структурой.

О2. Если матрица содержит m строк и 1 столбец, то она называется матри-цей-столбцом .

О3. Если матрица содержит 1 строку и n столбцов, то она называется мат-рицей-строкой .

Пример 1. – матрица-столбец; – матрица-строка.

О4. Матрица, у которой совпадает количество строк с количеством столбцов, называется квадратной.

Пример 2. – квадратная матрица размерностью 2 х 2.

Всякой квадратной матрице соответствует определитель, составленный из тех же матричных элементов, который в теории матриц называется детерминантом матрицы .

О5. Транспонированной к исходной квадратной матрице называется такая матрица, строки которой заменены на соответствующие столбцы, а столбцы – на соответствующие строки.

Согласно свойству 1 для определителей для квадратных матриц детерминант исходной матрицы равен детерминанту транспонированной матрицы.

О6. Матрицу, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, будем называть треугольной .

О7. Матрица, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, называется диагональной .

О8. Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю:

.

Над матрицами можно выполнять следующие действия:

1. Суммой (разностью) двух матриц и одинаковой структуры называется матрица той же размерности , элементы которой вычисляются по формуле: .

Пример 3. Найти сумму и разность матриц

.

Из приведенных матриц складывать (вычитать) можно только матрицы и , которые имеют одинаковую структуру. Найдем сумму

и разность этих матриц

.

2. При умножении вещественного числа на матрицу все элементы матрицы умножаются на это число.

Пример 4. Умножить (-2) на матрицу .

Результат умножения имеет вид .

3. Произведением матриц и называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле: : .

Перемножать можно лишь те матрицы, для которых количество столбцов первой перемножаемой матрицы совпадает с количеством строк второй перемножаемой матрицы. Матрица, получаемая в результате перемножения, имеет количество строк равное количеству строк первой матрицы и количество столбцов равное количеству столбцов второй матрицы.

Пример 5. Найти (если это возможно) произведение матриц

.

Матрица имеет структуру , матрица , матрица . Согласно определению можно найти произведения . Не существуют произведения , . Вычислим произведение . Прежде всего, определим

 

структуру результирующей матрицы: имеем размерности и , убирая подчеркнутые цифры, получим структуру результирующей матрицы . Теперь вычислим ее элементы. Для того чтобы найти элементы результирующей матрицы, надо просуммировать произведения элементов выбранной строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы:

.

Отсюда следует, что . Остальные возможные произведения найти самостоятельно.

Из приведенного примера видно, что в общем случае произведение матриц некоммутативно (неперестановочно), т. е. .

О9. Обратной матрицей к исходной квадратной матрице называется

матрица той же структуры, произведение которой с матрицей коммутативно и равно единичной матрице, то есть .

Рассмотрим схему построения обратной матрицы :

– находят детерминант матрицы ( – определитель матрицы );

– вычисляют алгебраические дополнения (см. «Определители») всех элементов определителя ;

– записывают выражение для обратной матрицы .

Обращаем внимание на то, что матрица алгебраических дополнений записана в транспонированном виде.

Пример 6. Найти обратную матрицу к матрице .

Вычислим детерминант данной матрицы , раскроем этот определитель по элементам первой строки:

.

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов данного определителя:

.

Запишем обратную матрицу . Проверим правильность нахож-дения обратной матрицы, для чего воспользуемся ее определением. Умножим найденную матрицу на исходную матрицу, вычислим элементы результирующей матрицы

.

Таким образом, , то есть обратная матрица вычислена верно.

“Методы решения систем линейных алгебраических уравнений”

Метод Крамера.

О1. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение , где числа называются коэффициентами при неизвестных , а числа называются свободными коэффициентами.

О2. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы .

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный опре-делитель на , для этого умножим все элементы первого столбца на эту неиз-вестную: .

Второй столбец умножим на , третий столбец – на , … , -ый столбец – на и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение не изменится: .

 

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет

собой столбец свободных коэффициентов, то есть .

О3. Определитель называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

.

Для того чтобы найти вспомогательный определитель , надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец на столбец свободных коэффициентов.

О4. Полученные выше соотношения называются формулами Крамера.

Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины .

Проанализируем полученные формулы:

– если главный определитель системы отличен от нуля ( ), то система имеет единственное решение;

– если главный определитель системы равен нулю ( ), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( или , или …, или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено(!!!));

– если все определители системы равны нулю ( ), то система уравнений имеет бесчисленное множество решений.

Пример 1. Решить СЛАУ методом Крамера .

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом . Найдем главный определитель СЛАУ . Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

;

;

.

Воспользуемся формулами Крамера

; ; .

После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляются в нормализованную си-стему линейных алгебраических уравнений. Выполним проверку

. Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.




Поиск по сайту:







©2015-2020 mykonspekts.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.