Для доказательства формулы теоремы составим таблицу векторных произведений ортов осей
Используя эту таблицу, вычислим векторное произведение векторов и :
=
.
Отсюда следует, что ; ; . Для запоминания этих формул существует мнемоническое правило: надо запомнить переход проекций от одной к другой ; для нахождения, например проекции , надо взять компоненту первого вектора и умножить на компоненту второго вектора, а затем вычесть их произведение, обменяв местами обозначение компонент. С другой стороны, полученную формулу можно записать в виде
.
Полученное выражение представляет собой раскрытие определителя III порядка по элементам первой строки, т. е. .
Пример 1. Найти, при каком значении параметра вектор колли-неарен вектору .
Согласно свойству 4 для векторного произведения найдем векторное произведение заданных векторов
= .
Так как вектор должен быть нулевым, то все его проекции должны быть рав-ными нулю, следовательно, .
Пример 2. Найти векторное произведение векторов и .
= .
Приложения векторного произведения.
1. Физика. Пусть точка начала вектора закреплена, а к его концу приложена сила , тогда момент этой силы будет равен (рис. 11).
Рис. 11. Момент силы .
2. Геометрия. Даны три точки , и . Требуется вычислить площадь треугольника (рис. 14). Введем в рассмотрение вектора и .
Рис. 12. Площадь треугольника .
Проекции векторов равны и .
Так как площадь треугольника составляет половину от площади параллелограмма, площадь которого равна модулю векторного произведения векторов и , то
.
Пример 3. Даны три точки , и . Вычислить площадь треугольника .
Введем в рассмотрение вектора и , вычислим их векторное произведение
= .
Следовательно, площадь треугольника равна .
3. Тригонометрия. Выведем формулу для .
Пусть в плоской декартовой системе координат даны вектора и , которые образуют с положительным направлением оси углы и , соответственно (рис. 13).
Рис. 13. Синус суммы двух углов.
Проекции векторов равны
и .
Используя формулу для векторного произведения векторов и свойство 4 для определителей, получим . Раскрыв этот определитель по элементам третьего столбца, получим . Длина этого вектора равна . С другой стороны, по определению векторного произведения его длина равна . Сравнивая две полученные формулы, получаем формулу для синуса суммы двух углов. В частности, при получаем, что .