 |
|
|
Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника |
Через проекции перемножаемых векторов.Запишем вектора
Для доказательства формулы теоремы составим таблицу векторных произведений ортов осей
Используя эту таблицу, вычислим векторное произведение векторов
Отсюда следует, что
Полученное выражение представляет собой раскрытие определителя III порядка по элементам первой строки, т. е. Пример 1. Найти, при каком значении параметра Согласно свойству 4 для векторного произведения найдем векторное произведение заданных векторов
Так как вектор Пример 2. Найти векторное произведение векторов
Приложения векторного произведения. 1. Физика. Пусть точка начала вектора
Рис. 11. Момент силы 2. Геометрия. Даны три точки
Рис. 12. Площадь треугольника Проекции векторов равны Так как площадь треугольника составляет половину от площади параллелограмма, площадь которого равна модулю векторного произведения векторов
Пример 3. Даны три точки Введем в рассмотрение вектора
Следовательно, площадь треугольника равна 3. Тригонометрия. Выведем формулу для Пусть в плоской декартовой системе координат даны вектора
Рис. 13. Синус суммы двух углов. Проекции векторов равны
Используя формулу для векторного произведения векторов и свойство 4 для определителей, получим |
и 
в декартовом базисе:
и 
.
= 
.
; 
; 
. Для запоминания этих формул существует мнемоническое правило: надо запомнить переход проекций от одной к другой 
; для нахождения, например проекции 
, надо взять компоненту 
первого вектора и умножить на компоненту 
второго вектора, а затем вычесть их произведение, обменяв местами обозначение компонент. С другой стороны, полученную формулу можно записать в виде
.
.
вектор 
колли-неарен вектору 
.
= 
.
должен быть нулевым, то все его проекции должны быть рав-ными нулю, следовательно, 
.
и 
.
= 
.
закреплена, а к его концу приложена сила 
, тогда момент этой силы будет равен 
(рис. 11).
, 
и 
. Требуется вычислить площадь треугольника 
(рис. 14). Введем в рассмотрение вектора 
и 
.
и 
.
.
, 
и 
. Вычислить площадь треугольника 
и 
, вычислим их векторное произведение
= 
.
.
.
углы 
и 
, соответственно (рис. 13).
и 
.
. Раскрыв этот определитель по элементам третьего столбца, получим 
. Длина этого вектора равна 
. С другой стороны, по определению векторного произведения его длина равна 
. Сравнивая две полученные формулы, получаем формулу для синуса суммы двух углов. В частности, при 
получаем, что 
.