Смешанное произведение векторов.

О4. Смешанным произведением векторов , и называется число равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , т. е. .

Получим формулу для вычисления смешанного произведения

.

Обменяв местами первую строку со второй, а затем и с третьей, получим окон-чательную формулу . Таким образом, смешанное произведение векторов представляет собой определитель III порядка, откуда следуют его свойства:

1. , т.е. вектора, входящие в смешанное произведение, можно циклически переставлять местами, поэтому зачастую смешанное произведение пишут без знаков .

2. Смешанное произведение векторов , и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком «+», если тройка векторов правая, и со знаком «-», если тройка векторов левая (рис. 14):

.

Рис. 14. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Так как , то

.

3. Если вектора , и компланарны (лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях), то их смешанное произведение равно нулю, т. е. .

Свойство 3 определяет условие компланарности трех векторов, т.е если , то вектора , и лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Пример 4. Доказать, что вектора , и компланарны.

Согласно формуле, определяющей смешанное произведение векторов, имеем

.

Пример 5. Даны четыре точки , , и . Вычислить объем параллелепипеда.

Составим вектора , и . Вычислим объем параллелепипеда

.

Положительность вычисленного объема указывает на то, что вектора , и образуют правую тройку.

Самостоятельная работа № 2Основы векторной алгебры

Даны четыре точки , , , . Варианты точек

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

1. Найти вектора и . Имеются ли среди них коллинеарные? Построить вектора , и вектора и на плоскости , положив аппликаторную координату вектора равной нулю. Записать разложение векторов и по декартовому базису .

2. Найти единичный вектор того же направления что и вектор .

3. Найти направляющие косинусы вектора . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4. Найти .

5. Определить координаты вектора , коллинеарного вектору , зная, что и он направлен в сторону, противоположную вектору .

6. Вычислить скалярные произведения и . Перпендикулярны ли вектора и , и между собой?

7. Найти работу, совершенную материальной точкой, к которой приложена сила , при перемещении ее из т. в т. .

8. Найти внутренний угол при вершине и внешний угол при вершине треугольника .

9. Найти и .

10. Вычислить , и угол .

11. Найти площадь и длину его высоты, опущенной из т. .

12. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и .

13. Найти величину и направляющие косинусы момента силы , приложенной к т. относительно т. .

14. Лежат ли вектора , и в одной плоскости? Могут ли эти вектора образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор .

15. Чему равен объем пирамиды с вершинами , , , и ее высоту, опущенную из т. на основание ?

16. Вычислить и .

17. Вычислить .

18. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и , а его проекция на вектор равна 6.

19. Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , .

Поиск по сайту: